Determine z in C tal que (1+i) z+2-3 i=3+i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um número complexo z que satisfaz a equação (1+i),z + (2 - 3i) = 3 + i. O conteúdo principal é resolução de equações lineares em C e divisão por número complexo (usando conjugado).

Passo 2

Primeiro, isolo o termo com z. Subtraio 2 - 3i de ambos os lados:
(1+i),z = (3 + i) - (2 - 3i)
Agora calculo a diferença de complexos:
(3 + i) - (2 - 3i) = (3 - 2) + (1 + 3)i = 1 + 4i

Passo 3

Logo,
z = 1 + 4i1 + i
Para dividir por 1 + i, multiplico numerador e denominador pelo conjugado de 1 + i, que é 1 - i:
z = (1 + 4i),(1 - i)(1 + i),(1 - i)

Passo 4

Calculo numerador e denominador separadamente.
Denominador:
(1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2
Numerador:
(1 + 4i)(1 - i) = 1cdot1 + 1cdot(-i) + 4icdot1 + 4icdot(-i) = 1 - i + 4i - 4i^2 = 1 + 3i - 4(-1) = 1 + 3i + 4 = 5 + 3i
Portanto,
z = 5 + 3i2 = 52 + 32,i

Resposta

z = tfrac52 + tfrac32,i

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