Use o Teorema Fundamental do Cálculo para justificar se as seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas ( F ).
b) Seja F uma primitiva de f(t)=sin (raizt). Então, dd x(integral0^x^2 sin (raizt) d t)=2 x sin (x) qualquer que seja x in R.

Passo 1

Enunciado: Determinar se a derivada da função definida por G(x)=integral0^x^2sin(raizt),dt é igual a 2xsin(x) para todo xin R. Conteúdo: Teorema Fundamental do Cálculo (segunda parte) e regra da cadeia; precisamos usar que, se F é primitiva de f, então ddxF(u(x))=F'(u(x)),u'(x).

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, obtemos:
ddxintegral0^x^2sin(raizt),dt =F'(x^2)cdot 2x =f(x^2)cdot 2x

Passo 3

Como f(t)=sin(raizt), ao avaliar em t=x^2 vem:
f(x^2)=sinl(raizx^2r)=sin(|x|)
Logo a derivada é 2xsin(|x|).

Passo 4

Para x<0 temos sin(|x|)=sin(-x)=-sin(x), então a derivada torna-se -2xsin(x), diferente de 2xsin(x). Portanto a expressão não vale para todos os x.

Resposta

F

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