Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo e mostrar que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função que está na derivada e aplicar o teorema mencionado para garantir que a solução seja única.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a função
. Sabemos que
, então para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação a
:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Reescrevendo a integral:
Agora, vamos distribuir
:
Passo 4
Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
-
Integral de
: Isso requer integração por partes. Vamos definir: Aplicando a fórmula de integração por partes: -
-
Integral de
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando:
Lembrando que
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 7
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Isso nos dá a solução única para o problema de valor inicial.
Resposta
A solução única do problema de valor inicial é: