Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar a existência e unicidade de solução para os problemas de valor inicial abaixo:
y^prime(x) & =x e^x-1, em (-10,11) y(1) & =5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo e mostrar que existe uma única solução para o problema de valor inicial dado:
y^prime(x) = x e^x-1, & em (-10,11) y(1) = 5
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função que está na derivada e aplicar o teorema mencionado para garantir que a solução seja única.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a função y(x) = integral x e^x-1 , dx + C . Sabemos que , então para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação a :
Onde é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja y(x) = integral (u + 1) e^u , du + C , então y(x) = integral u e^u , du + integral e^u , du + C . Reescrevendo a integral:
Agora, vamos distribuir :

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Integral de integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C1 : Isso requer integração por partes. Vamos definir:
    • integral e^u , du = e^u + C2
    Aplicando a fórmula de integração por partes :
  2. Integral de :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
y(x) = ( u e^u - e^u ) + e^u + C
Simplificando:
y(x) = u e^u + C
Lembrando que y(x) = (x - 1) e^x - 1 + C :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial 5 = (1 - 1) e^1 - 1 + C 5 = 0 times e^0 + C 5 = 0 + C C = 5 para encontrar a constante :

Passo 7

Finalmente, substituímos y(x) = (x - 1) e^x - 1 + 5 na expressão de :
Isso nos dá a solução única para o problema de valor inicial.

Resposta

A solução única do problema de valor inicial é:
y(x) = (x - 1) e^x - 1 + 5

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