Use o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I - e a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede para calcular a derivada em relação a
da função
- Informação dada: o integrando é
e o limite superior da integral é uma função de , igual a . O limite inferior é a constante . - Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Idea principal que vamos usar (explicada de forma simples):
- Quando temos uma integral com limite superior dependente de
, do tipo , a derivada em relação a é a avaliação do integrando no ponto multiplicada pela derivada de . Em fórmula:
- Por que isso acontece (intuição leve): a integral até
acumula área até esse ponto; se muda um pouquinho, a mudança na área é aproximadamente a altura vezes a pequena variação em . Multiplicar pela taxa de variação de em relação a dá a taxa total em relação a .
Passo 3
Identificar as funções no problema:
- Tome
. Aqui é a variável de integração. - Tome
. Esta é a expressão que aparece no limite superior da integral. - Queremos
.
Passo 4
Aplicar a regra (teorema + cadeia) passo a passo:
- Pela regra do passo anterior,
- Substituindo
e :
- Multiplicando:
Passo 5
Verificação alternativa (ajuda a fixar a ideia):
- Uma primitiva de
em é , pois . - Então por cálculo básico de integrais,
- Derivando em
, a constante some e sobra a derivada de , que pela regra da cadeia é , concordando com o resultado anterior.
Passo 6
Comentário final de incentivo:
- Pronto — a conta ficou limpa. Na prova, você pode aplicar diretamente: avalia o integrando no limite superior e multiplica pela derivada desse limite. Você conseguiu, tá indo bem — repete esse padrão em exercícios semelhantes que dá certo!