Use o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I - e a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo:
\int_{1}^{x^{3}+x} \cos (t+1) d t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede para calcular a derivada em relação a x da função
F(x)=\int_{1}^{x^{3}+x} \cos(t+1)\,dt.
  • Informação dada: o integrando é \cos(t+1) e o limite superior da integral é uma função de x, igual a x^{3}+x. O limite inferior é a constante 1.
  • Objetivo: encontrar \dfrac{d}{dx}F(x).

Passo 2

Idea principal que vamos usar (explicada de forma simples):
  • Quando temos uma integral com limite superior dependente de x, do tipo \int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt, a derivada em relação a x é a avaliação do integrando no ponto t=g(x) multiplicada pela derivada de g(x). Em fórmula:
\frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
  • Por que isso acontece (intuição leve): a integral até g(x) acumula área até esse ponto; se g(x) muda um pouquinho, a mudança na área é aproximadamente a altura f(g(x)) vezes a pequena variação em g(x). Multiplicar pela taxa de variação de g em relação a x dá a taxa total em relação a x.

Passo 3

Identificar as funções no problema:
  • Tome f(t)=\cos(t+1). Aqui t é a variável de integração.
  • Tome g(x)=x^{3}+x. Esta é a expressão que aparece no limite superior da integral.
  • Queremos \dfrac{d}{dx}\left(\int_{1}^{g(x)} f(t)\,dt\right).

Passo 4

Aplicar a regra (teorema + cadeia) passo a passo:
  • Pela regra do passo anterior,
\frac{d}{dx}\left(\int_{1}^{g(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
  • Substituindo f e g:
f\big(g(x)\big)=\cos\big(g(x)+1\big)=\cos\big(x^{3}+x+1\big),
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}+x\big)=3x^{2}+1.
  • Multiplicando:
\frac{d}{dx}\left(\int_{1}^{x^{3}+x} \cos(t+1)\,dt\right)=(3x^{2}+1)\cos\big(x^{3}+x+1\big).

Passo 5

Verificação alternativa (ajuda a fixar a ideia):
  • Uma primitiva de \cos(t+1) em t é \sin(t+1), pois \dfrac{d}{dt}\sin(t+1)=\cos(t+1).
  • Então por cálculo básico de integrais,
\int_{1}^{x^{3}+x} \cos(t+1)\,dt = \sin\big(x^{3}+x+1\big)-\sin(1+1).
  • Derivando em x, a constante \sin(2) some e sobra a derivada de \sin(x^{3}+x+1), que pela regra da cadeia é \cos(x^{3}+x+1)\cdot(3x^{2}+1), concordando com o resultado anterior.

Passo 6

Comentário final de incentivo:
  • Pronto — a conta ficou limpa. Na prova, você pode aplicar diretamente: avalia o integrando no limite superior e multiplica pela derivada desse limite. Você conseguiu, tá indo bem — repete esse padrão em exercícios semelhantes que dá certo!

Resposta

(3x^{2}+1)\cos\big(x^{3}+x+1\big)

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