Use o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I - e a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo:
y=\int_{1}^{3 x+1} \frac{1}{1+t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y=\int_{1}^{3x+1}\frac{1}{1+t^{3}}\,dt
e pede para calcular a derivada y' em relação a x.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A integral é definida com limite inferior constante igual a 1.
  • O limite superior é a função de x dada por 3x+1.
  • A integranda é a função \dfrac{1}{1+t^{3}} (função de t).

Passo 2

Enunciando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma útil aqui): se
F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt
então
\frac{dF}{du}=f(u),
desde que f seja contínua no intervalo envolvido. Agora, se o limite superior for uma função u(x), isto é,
y(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt,
então aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos em relação a u (usando o teorema), depois multiplicamos por u'(x). Assim,
\frac{dy}{dx}=f\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 3

Identificamos as partes da nossa função para usar a fórmula do passo anterior:
  • f(t)=\dfrac{1}{1+t^{3}}.
  • u(x)=3x+1 é o limite superior dependente de x.
Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x+1)=3.

Passo 4

Agora aplicamos diretamente a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia:
y' = f\big(u(x)\big)\cdot u'(x) = \frac{1}{1+\big(u(x)\big)^{3}}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3x+1 e u'(x)=3 obtemos
y'=\frac{1}{1+(3x+1)^{3}}\cdot 3 =\frac{3}{1+(3x+1)^{3}}.

Passo 5

Observação final (rápida e prática): a derivada acima vale sempre que a aplicação do Teorema Fundamental for válida, isto é, quando a integranda for contínua no intervalo entre 1 e 3x+1. A função \dfrac{1}{1+t^{3}} tem descontinuidade em t=-1. Se o intervalo entre 1 e 3x+1 contiver t=-1 (por exemplo, se 3x+1 estiver de um lado de -1 e 1 do outro), a integral poderia ser imprópria e seria preciso tratar esse caso separadamente. Para os x que não causam isso, a fórmula acima é válida.

Resposta

y'=\frac{3}{1+(3x+1)^{3}}

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