Use o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I - e a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada
em relação a
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A integral é definida com limite inferior constante igual a
. - O limite superior é a função de
dada por . - A integranda é a função
(função de ).
Passo 2
Enunciando o Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I (forma útil aqui): se
então
desde que
seja contínua no intervalo envolvido. Agora, se o limite superior for uma função
, isto é,
então aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos em relação a
(usando o teorema), depois multiplicamos por
. Assim,
Passo 3
Identificamos as partes da nossa função para usar a fórmula do passo anterior:
-
. -
é o limite superior dependente de .
Calculamos a derivada de
:
Passo 4
Agora aplicamos diretamente a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia:
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Observação final (rápida e prática): a derivada acima vale sempre que a aplicação do Teorema Fundamental for válida, isto é, quando a integranda for contínua no intervalo entre
e
. A função
tem descontinuidade em
. Se o intervalo entre
e
contiver
(por exemplo, se
estiver de um lado de
e
do outro), a integral poderia ser imprópria e seria preciso tratar esse caso separadamente. Para os
que não causam isso, a fórmula acima é válida.