Use o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I - e a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado:
. O é a variável de integração (variável “dummy”).\n - Pedido: calcular a derivada
.\n - Informação importante sobre domínio (extraída do próprio integrando): a função integranda
está definida para (e tem singularidade integrável em ). Portanto a expressão faz sentido, sem ambiguidade, quando ; a fórmula para a derivada abaixo será usada para os valores de tais que .
Passo 2
Lembrete didático: Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I e Regra da Cadeia.\n
- Primeiro fato (caso simples): se
e é contínua, então . Ou seja, derivar a integral cuja variável superior é devolve o integrando avaliado em .\n - Segundo fato (caso composto): se
com como acima e diferenciável, então pela regra da cadeia
Aplicando isso ao nosso caso: aqui
e
. Logo
Passo 3
Calcular
e
.\n
- Avaliando o integrando em
:
- Derivada de
(fórmula básica de derivadas):
- Multiplicando segundo a regra da cadeia:
Passo 4
Verificação alternativa (integrar explicitamente e depois derivar) — para entendimento passo a passo.\n
- Note que uma primitiva de
é , pois
- Assim a integral pode ser calculada:
- Agora derivando
pela regra da cadeia: se então
o mesmo resultado obtido pelo Teorema Fundamental + regra da cadeia.
Passo 5
Observações finais e domínio (motivação prática para a prova):\n
- A fórmula
é válida quando , onde tudo está bem definido. Em pontos onde deve-se ter cuidado: para a integral com integrando não é real, e em há singularidade na derivada (divisão por zero) — a expressão original da integral ainda pode ser interpretada como integral imprópria, mas a fórmula da derivada exige .\n - Técnica prática para provas: ou aplica-se diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo Parte I com a regra da cadeia (mais rápido), ou encontra-se a primitiva do integrando e depois deriva-se o resultado (bom para checar passos). Sempre identifique o
e o antes de aplicar a regra da cadeia — isso evita erros.