Use o Teorema Fundamental do Cálculo - Parte I - e a regra da cadeia para calcular a derivada das funções abaixo:
y=\int_{0}^{\tan x} \frac{1}{2 \sqrt{t}} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: y=\displaystyle\int_{0}^{\tan x} \frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt. O t é a variável de integração (variável “dummy”).\n
  • Pedido: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx}.\n
  • Informação importante sobre domínio (extraída do próprio integrando): a função integranda \dfrac{1}{2\sqrt{t}} está definida para t>0 (e tem singularidade integrável em t=0). Portanto a expressão faz sentido, sem ambiguidade, quando \tan x\ge 0; a fórmula para a derivada abaixo será usada para os valores de x tais que \tan x>0.

Passo 2

Lembrete didático: Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I e Regra da Cadeia.\n
  • Primeiro fato (caso simples): se F(u)=\displaystyle\int_{a}^{u} f(t)\,dt e f é contínua, então F'(u)=f(u). Ou seja, derivar a integral cuja variável superior é u devolve o integrando avaliado em u.\n
  • Segundo fato (caso composto): se y=F(g(x)) com F como acima e g diferenciável, então pela regra da cadeia
\frac{dy}{dx}=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
Aplicando isso ao nosso caso: aqui f(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}} e g(x)=\tan x. Logo
\frac{dy}{dx}=f(\tan x)\cdot \frac{d}{dx}(\tan x).

Passo 3

Calcular f(\tan x) e \dfrac{d}{dx}(\tan x).\n
  • Avaliando o integrando em t=\tan x:
f(\tan x)=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}.
  • Derivada de \tan x (fórmula básica de derivadas):
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x.
  • Multiplicando segundo a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{\tan x}}\cdot \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Verificação alternativa (integrar explicitamente e depois derivar) — para entendimento passo a passo.\n
  • Note que uma primitiva de f(t)=\dfrac{1}{2}t^{-1/2} é \sqrt{t}, pois
\frac{d}{dt}\big(\sqrt{t}\big)=\frac{d}{dt}\big(t^{1/2}\big)=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
  • Assim a integral pode ser calculada:
y=\int_{0}^{\tan x}\frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt=\sqrt{\tan x}-\sqrt{0}=\sqrt{\tan x}.
  • Agora derivando y=\sqrt{\tan x} pela regra da cadeia: se y=(\tan x)^{1/2} então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(\tan x)^{-1/2}\cdot \operatorname{sec}^{2}x=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2\sqrt{\tan x}},
o mesmo resultado obtido pelo Teorema Fundamental + regra da cadeia.

Passo 5

Observações finais e domínio (motivação prática para a prova):\n
  • A fórmula \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\operatorname{sec}^{2}x}{2\sqrt{\tan x}} é válida quando \tan x>0, onde tudo está bem definido. Em pontos onde \tan x\le 0 deve-se ter cuidado: para \tan x<0 a integral com integrando \dfrac{1}{2\sqrt{t}} não é real, e em \tan x=0 há singularidade na derivada (divisão por zero) — a expressão original da integral ainda pode ser interpretada como integral imprópria, mas a fórmula da derivada exige \tan x>0.\n
  • Técnica prática para provas: ou aplica-se diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo Parte I com a regra da cadeia (mais rápido), ou encontra-se a primitiva do integrando e depois deriva-se o resultado (bom para checar passos). Sempre identifique o f(t) e o g(x) antes de aplicar a regra da cadeia — isso evita erros.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{2\sqrt{\tan x}}

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