Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z \vec{k} ; S é a parte da superfície do paraboloide hiperbólico z=\frac{H}{R^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right), z \leq H cortada pelo cilindro circular reto x^{2}+y^{2}=R^{2}, na direção do versor \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z\,\vec{k} pela superfície S, onde S é a parte do paraboloide hiperbólico
z=\frac{H}{R^{2}}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr),\qquad z\le H
cortada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=R^{2}. A orientação pedida é "na direção do versor \vec{k}", ou seja, o vetor normal escolhido em cada ponto de S deve ter componente positiva na direção z (normal apontando para cima).
Informações relevantes fornecidas:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
  • Superfície S é o gráfico z=f(x,y) com f(x,y)=\dfrac{H}{R^{2}}(x^{2}-y^{2}) restrito ao disco x^{2}+y^{2}\le R^{2}.
  • Queremos o fluxo através de S com normal cuja componente em z é positiva (direção de \vec{k}).

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Gauss (divergência) porque ele transforma o cálculo do fluxo por uma superfície em uma integral de volume, o que costuma simplificar quando a superfície é parte do grafo de uma função sobre um domínio plano.
Lembrando o teorema: para uma região sólida V com fronteira fechada \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV,
onde \vec{n} é o vetor normal unitário apontando para fora de V.
Construímos a região sólida V como o conjunto de pontos
V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2},\; z_{\text{parab}}(x,y)\le z\le H\},
com z_{\text{parab}}(x,y)=\dfrac{H}{R^{2}}(x^{2}-y^{2}). A fronteira \partial V é a união de duas superfícies: o paraboloide S (a parte inferior do sólido) e o disco plano D em z=H (a tampa superior). Observe a relação de orientações:
  • No disco D a normale exterior é \vec{k} (para fora do sólido para cima).
  • No paraboloide S, a normale exterior ao sólido aponta para baixo (tem componente z negativa). Mas o enunciado pede a normal em S com componente z positiva; isso significa que a normal pedida é o oposto da normal exterior ao sólido em S.
Logo, se chamarmos \Phi_{S}^{+} o fluxo por S com normal na direção de \vec{k}, e \Phi_{S}^{\text{out}} o fluxo por S com normal exterior ao sólido, temos \Phi_{S}^{+}=-\Phi_{S}^{\text{out}}. Aplicando o Teorema de Gauss à superfície fechada \partial V=S\cup D,
\Phi_{S}^{\text{out}}+\Phi_{D}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Desse modo
\Phi_{S}^{+}=-\Phi_{S}^{\text{out}}=\Phi_{D}-\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Portanto precisamos calcular \operatorname{div}\vec{F}, o integral triple sobre V e o fluxo pelo disco D.

Passo 3

Calculamos a divergência do campo:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z)=2x+2y+1.
Expliquei: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y, \frac{\partial}{\partial z}(z)=1.

Passo 4

Calculemos o integral triplo \displaystyle \iiint_{V}(2x+2y+1)\,dV.
Escrevemos o integral como a soma de três integrais:
\iiint_{V}2x\,dV+\iiint_{V}2y\,dV+\iiint_{V}1\,dV.
Pelo domínio V simétrico em x e y (o disco no plano xy), os integrais de x e de y sobre V são zero:
\iiint_{V}x\,dV=0,\qquad \iiint_{V}y\,dV=0,
pois para cada (x,y) (-x,y) e (x,-y) no disco com a mesma espessura em z. Assim resta
\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\iiint_{V}1\,dV=\text{Vol}(V).
Agora calculamos o volume de V. Em coordenadas polares (r,\theta) no plano xy:
z_{\text{parab}}(r,\theta)=\frac{H}{R^{2}}(r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta)=\frac{H}{R^{2}}\,r^{2}\cos(2\theta).
O volume é
\text{Vol}(V)=\int_{r=0}^{R}\int_{\theta=0}^{2\pi}\bigl(H-z_{\text{parab}}(r,\theta)\bigr)\,r\,d\theta\,dr.
Substituindo z_{\text{parab}}:
\text{Vol}(V)=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\Bigl(H-\frac{H}{R^{2}}r^{2}\cos(2\theta)\Bigr)r\,d\theta\,dr.
Separe as parcelas:
\text{Vol}(V)=H\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}r\,d\theta\,dr-\frac{H}{R^{2}}\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}r^{3}\cos(2\theta)\,d\theta\,dr.
O segundo integral em \theta é zero porque \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta=0. Então
\text{Vol}(V)=H\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}r\,d\theta\,dr =H\int_{0}^{R}\bigl(2\pi r\bigr)\,dr =2\pi H\cdot\frac{R^{2}}{2}=\pi H R^{2}.
Portanto
\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\pi H R^{2}.

Passo 5

Calculamos o fluxo pelo disco D em z=H. No disco D com x^{2}+y^{2}\le R^{2}, a normal exterior é \vec{n}=\vec{k}. Então
\Phi_{D}=\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{x^{2}+y^{2}\le R^{2}} F_{z}(x,y,H)\,dA.
Aqui F_{z}=z, e em D temos z=H. Logo
\Phi_{D}=\iint_{x^{2}+y^{2}\le R^{2}} H\,dA = H\cdot\text{Area}( \text{disk radius }R)=H\cdot\pi R^{2}=\pi H R^{2}.

Passo 6

Agora aplicamos a relação do Passo 2:
\Phi_{S}^{+}=\Phi_{D}-\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Substituindo os valores obtidos:
\Phi_{S}^{+}=\pi H R^{2}-\pi H R^{2}=0.
Interpretação rápida: a contribuição da componente divergente constante (1) igualou exatamente o fluxo que atravessa a tampa superior, e as componentes ímpares em x,y desapareceram por simetria, resultando em fluxo nulo através da porção do paraboloide orientada para cima.

Resposta

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