Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de
é a parte da superfície do paraboloide hiperbólico
cortada pelo cilindro circular reto
, na direção do versor
.
o fluxo de
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela superfície
, onde
é a parte do paraboloide hiperbólico
cortada pelo cilindro
. A orientação pedida é "na direção do versor
", ou seja, o vetor normal escolhido em cada ponto de
deve ter componente positiva na direção
(normal apontando para cima).
Informações relevantes fornecidas:
- Campo vetorial:
. - Superfície
é o gráfico com restrito ao disco . - Queremos o fluxo através de
com normal cuja componente em é positiva (direção de ).
Passo 2
Vamos usar o Teorema de Gauss (divergência) porque ele transforma o cálculo do fluxo por uma superfície em uma integral de volume, o que costuma simplificar quando a superfície é parte do grafo de uma função sobre um domínio plano.
Lembrando o teorema: para uma região sólida
com fronteira fechada
,
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora de
.
Construímos a região sólida
como o conjunto de pontos
com
. A fronteira
é a união de duas superfícies: o paraboloide
(a parte inferior do sólido) e o disco plano
em
(a tampa superior). Observe a relação de orientações:
- No disco
a normale exterior é (para fora do sólido para cima). - No paraboloide
, a normale exterior ao sólido aponta para baixo (tem componente negativa). Mas o enunciado pede a normal em com componente positiva; isso significa que a normal pedida é o oposto da normal exterior ao sólido em .
Logo, se chamarmos
o fluxo por
com normal na direção de
, e
o fluxo por
com normal exterior ao sólido, temos
. Aplicando o Teorema de Gauss à superfície fechada
,
Desse modo
Portanto precisamos calcular
, o integral triple sobre
e o fluxo pelo disco
.
Passo 3
Calculamos a divergência do campo:
Expliquei:
,
,
.
Passo 4
Calculemos o integral triplo
.
Escrevemos o integral como a soma de três integrais:
Pelo domínio
simétrico em
e
(o disco no plano
), os integrais de
e de
sobre
são zero:
pois para cada
há
e
no disco com a mesma espessura em
. Assim resta
Agora calculamos o volume de
. Em coordenadas polares
no plano
:
O volume é
Substituindo
:
Separe as parcelas:
O segundo integral em
é zero porque
. Então
Portanto
Passo 5
Calculamos o fluxo pelo disco
em
. No disco
com
, a normal exterior é
. Então
Aqui
, e em
temos
. Logo
Passo 6
Agora aplicamos a relação do Passo 2:
Substituindo os valores obtidos:
Interpretação rápida: a contribuição da componente divergente constante (1) igualou exatamente o fluxo que atravessa a tampa superior, e as componentes ímpares em
desapareceram por simetria, resultando em fluxo nulo através da porção do paraboloide orientada para cima.
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