Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de
;
é a parte da superfície do paraboloide elíptico
acima do quadrado
,
, orientada para cima.
o fluxo de
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela parte da superfície do paraboloide elíptico
que está acima do quadrado
, com a orientação para cima.\n
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
A superfície
é a porção do gráfico
sobre o domínio quadrado
. Queremos
onde
é o vetor normal apontando para cima. O enunciado pede explicitamente para usar o Teorema de Gauss (teorema da divergência).
Passo 2
Ideia usando o Teorema de Gauss: o Teorema de Gauss diz que, para um corpo
fechado com fronteira orientada externamente,
Nossa superfície
não é uma superfície fechada sozinha; é a “tampa” superior de um sólido
que podemos definir como o sólido entre o plano
(base) e o paraboloide
sobre o quadrado
. Assim o contorno
é formado por:
- a superfície superior
(paraboloide), cuja normal externa coincide com a orientação para cima pedida; - a face inferior
(o quadrado no plano ), com normal para baixo (externa ao volume); - as quatro faces verticais ao longo das arestas do quadrado (x=0,x=1,y=0,y=1), cada uma com sua normal externa correspondente.
Logo aplicaremos o Teorema de Gauss ao volume
e depois isolaremos a contribuição de
subtraindo as contribuições das outras faces.
Passo 3
Calcular a divergência de
. A divergência é definida por
onde
. Aqui
,
,
. Então
Cada termo:
porque
não depende de
.
(derivada de
é
).
porque
não depende de
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Aplicar o Teorema de Gauss: a integral de superfície total sobre
é o triplo integral da divergência sobre
:
O volume
é dado por
e
. Assim
Integrando em
primeiro,
Passo 5
Calcular o triplo integral explicitamente. Separe as integrais:
Como
, obtemos
Agora dividimos em duas integrais:
Usando integração por partes (ou a fórmula conhecida
), temos
E
Somando,
Passo 6
Agora escrevemos a igualdade do Teorema de Gauss para o contorno
, que é a soma das contribuições de
(tampa superior), da base
(plano
) e das quatro faces verticais:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos calcular separadamente as contribuições da base e das faces verticais.
Passo 7
Fluxo pela base
(plano
,
). A normal externa ao volume para a base aponta para baixo, isto é
. Então
avaliado em
(a componente
não depende de
). Assim
Calcule:
Passo 8
Faces verticais: são quatro faces sobre as arestas do quadrado. Vamos calcular cada uma.
Face
: o normal externo aponta em
. Para
temos
. O produto escalar é
. A face varia em
e
(pois
). Assim
Note que
é igual a
calculada antes, ou seja
. Logo
Face
: o normal externo aponta em
. Para
,
e
. Então
Isso se separa em
.
Face
: o normal externo aponta em
. Para
temos
, portanto a contribuição desta face é zero:
Face
: o normal externo aponta em
. Para
,
e
. Então
Novamente isso é
.
Somando as quatro faces verticais:
Passo 9
Voltemos à igualdade do Teorema de Gauss:
Substituindo os valores encontrados:
e
. Assim
Calcule passo a passo (colocando tudo em denominador comum
):
Somando:
Portanto
Passo 10
Verificação (opcional, útil para entender): se quisermos checar rapidamente, poderíamos usar a fórmula direta para superfície dada por
com orientação para cima:
com
,
,
. Substituindo
e integrando sobre
dá exatamente
, confirmando o resultado anterior.