Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=e^{y} \vec{i}+y e^{x} \vec{j}+x^{2} y \vec{k}; S é a parte da superfície do paraboloide elíptico z=x^{2}+y^{2} acima do quadrado 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, orientada para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=e^{y}\vec{i}+y e^{x}\vec{j}+x^{2}y\vec{k} pela parte da superfície do paraboloide elíptico z=x^{2}+y^{2} que está acima do quadrado \,0\le x\le1,\;0\le y\le1\,, com a orientação para cima.\n
Informações dadas e objetivo:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{y},\;y e^{x},\;x^{2}y\bigr).
A superfície S é a porção do gráfico z=x^{2}+y^{2} sobre o domínio quadrado D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}. Queremos
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é o vetor normal apontando para cima. O enunciado pede explicitamente para usar o Teorema de Gauss (teorema da divergência).

Passo 2

Ideia usando o Teorema de Gauss: o Teorema de Gauss diz que, para um corpo V fechado com fronteira orientada externamente,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Nossa superfície S não é uma superfície fechada sozinha; é a “tampa” superior de um sólido V que podemos definir como o sólido entre o plano z=0 (base) e o paraboloide z=x^{2}+y^{2} sobre o quadrado D. Assim o contorno \partial V é formado por:
  • a superfície superior S (paraboloide), cuja normal externa coincide com a orientação para cima pedida;
  • a face inferior B (o quadrado no plano z=0), com normal para baixo (externa ao volume);
  • as quatro faces verticais ao longo das arestas do quadrado (x=0,x=1,y=0,y=1), cada uma com sua normal externa correspondente.
Logo aplicaremos o Teorema de Gauss ao volume V=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\;0\le z\le x^{2}+y^{2}\} e depois isolaremos a contribuição de S subtraindo as contribuições das outras faces.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. A divergência é definida por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(P)+\frac{\partial}{\partial y}(Q)+\frac{\partial}{\partial z}(R),
onde \vec{F}=(P,Q,R). Aqui P=e^{y}, Q=y e^{x}, R=x^{2}y. Então
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(e^{y})+\frac{\partial}{\partial y}(y e^{x})+\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y).
Cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(e^{y})=0 porque e^{y} não depende de x.
\frac{\partial}{\partial y}(y e^{x})=e^{x} (derivada de y é 1).
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}y)=0 porque x^{2}y não depende de z.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=e^{x}.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Gauss: a integral de superfície total sobre \partial V é o triplo integral da divergência sobre V:
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}e^{x}\,dV.
O volume V é dado por (x,y)\in[0,1]\times[0,1] e 0\le z\le x^{2}+y^{2}. Assim
\iiint_{V}e^{x}\,dV=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{x^{2}+y^{2}} e^{x}\,dz\,dy\,dx.
Integrando em z primeiro,
\iiint_{V}e^{x}\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular o triplo integral explicitamente. Separe as integrais:
\iiint_{V}e^{x}\,dV=\int_{0}^{1} e^{x}\left(\int_{0}^{1} (x^{2}+y^{2})\,dy\right)dx =\int_{0}^{1} e^{x}\left(x^{2}+\int_{0}^{1}y^{2}dy\right)dx.
Como \int_{0}^{1}y^{2}dy=\tfrac{1}{3}, obtemos
\iiint_{V}e^{x}\,dV=\int_{0}^{1} e^{x}\left(x^{2}+\tfrac{1}{3}\right)dx.
Agora dividimos em duas integrais:
\int_{0}^{1} x^{2}e^{x}dx \quad\text{e}\quad \tfrac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{x}dx.
Usando integração por partes (ou a fórmula conhecida \int x^{2}e^{x}dx=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C), temos
\int_{0}^{1} x^{2}e^{x}dx = \Bigl[e^{x}(x^{2}-2x+2)\Bigr]_{0}^{1}=e-2.
E
\tfrac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{x}dx=\tfrac{1}{3}(e-1).
Somando,
\iiint_{V}e^{x}\,dV=(e-2)+\tfrac{1}{3}(e-1)=\frac{4e-7}{3}.

Passo 6

Agora escrevemos a igualdade do Teorema de Gauss para o contorno \partial V, que é a soma das contribuições de S (tampa superior), da base B (plano z=0) e das quatro faces verticais:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{B}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\sum_{\text{faces verticais}}\iint \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{4e-7}{3}.
Nosso objetivo é isolar \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS. Vamos calcular separadamente as contribuições da base e das faces verticais.

Passo 7

Fluxo pela base B (plano z=0, 0\le x\le1,\,0\le y\le1). A normal externa ao volume para a base aponta para baixo, isto é \vec{n}_B=-\vec{k}. Então
\vec{F}\cdot\vec{n}_B=-R=-x^{2}y,
avaliado em z=0 (a componente R não depende de z). Assim
\iint_{B}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(-x^{2}y)\,dy\,dx.
Calcule:
\iint_{B}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=-\int_{0}^{1}x^{2}\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\cdot\tfrac{1}{2}\,dx=-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{6}.

Passo 8

Faces verticais: são quatro faces sobre as arestas do quadrado. Vamos calcular cada uma.
Face x=0: o normal externo aponta em -\vec{i}. Para x=0 temos P=e^{y}. O produto escalar é \vec{F}\cdot(-\vec{i})=-e^{y}. A face varia em y\in[0,1] e z\in[0,y^{2}] (pois x=0\Rightarrow z=y^{2}). Assim
\Phi_{x=0}=\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{y^{2}}(-e^{y})\,dz\,dy=-\int_{0}^{1}e^{y}\,y^{2}\,dy.
Note que \int_{0}^{1}y^{2}e^{y}dy é igual a \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx calculada antes, ou seja e-2. Logo
\Phi_{x=0}=-(e-2)=2-e.
Face x=1: o normal externo aponta em +\vec{i}. Para x=1, P=e^{y} e z\in[0,1+y^{2}]. Então
\Phi_{x=1}=\int_{y=0}^{1}\int_{z=0}^{1+y^{2}} e^{y}\,dz\,dy=\int_{0}^{1} e^{y}(1+y^{2})\,dy.
Isso se separa em \int_{0}^{1}e^{y}dy+\int_{0}^{1}y^{2}e^{y}dy=(e-1)+(e-2)=2e-3.
Face y=0: o normal externo aponta em -\vec{j}. Para y=0 temos Q=y e^{x}=0, portanto a contribuição desta face é zero:
\Phi_{y=0}=0.
Face y=1: o normal externo aponta em +\vec{j}. Para y=1, Q=y e^{x}=e^{x} e z\in[0,x^{2}+1]. Então
\Phi_{y=1}=\int_{x=0}^{1}\int_{z=0}^{x^{2}+1} e^{x}\,dz\,dx=\int_{0}^{1} e^{x}(x^{2}+1)\,dx.
Novamente isso é \int_{0}^{1}x^{2}e^{x}dx+\int_{0}^{1}e^{x}dx=(e-2)+(e-1)=2e-3.
Somando as quatro faces verticais:
\sum_{\text{verticais}}\Phi = \Phi_{x=0}+\Phi_{x=1}+\Phi_{y=0}+\Phi_{y=1}=(2-e)+(2e-3)+0+(2e-3)=3e-4.

Passo 9

Voltemos à igualdade do Teorema de Gauss:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{B}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\sum_{\text{verticais}}\Phi=\frac{4e-7}{3}.
Substituindo os valores encontrados: \iint_{B}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=-\tfrac{1}{6} e \sum_{\text{verticais}}\Phi=3e-4. Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{4e-7}{3}-\Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)-(3e-4).
Calcule passo a passo (colocando tudo em denominador comum 6):
\frac{4e-7}{3}=\frac{8e-14}{6},\qquad -\Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)=\tfrac{1}{6},\qquad -(3e-4)= -3e+4=\frac{-18e+24}{6}.
Somando:
\frac{8e-14}{6}+\frac{1}{6}+\frac{-18e+24}{6}=\frac{8e-14+1-18e+24}{6}=\frac{-10e+11}{6}.
Portanto
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{11-10e}{6}.

Passo 10

Verificação (opcional, útil para entender): se quisermos checar rapidamente, poderíamos usar a fórmula direta para superfície dada por z=f(x,y) com orientação para cima:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iint_{D}\bigl(-P f_x - Q f_y + R\bigr)\,dA,
com f(x,y)=x^{2}+y^{2}, f_x=2x, f_y=2y. Substituindo P,Q,R e integrando sobre D=[0,1]\times[0,1] dá exatamente \tfrac{11-10e}{6}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{11-10e}{6}

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