Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}-y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}; S é a parte da superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, na direção da normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k} através da superfície S definida como a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
com x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 (ou seja, o pedaço da esfera no primeiro octante), tomando a direção da normal exterior à região limitada. As informações relevantes são:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}.
  • A superfície S é a porção esférica do primeiro octante da esfera de raio R.
  • A orientação é a normal exterior (para a porção esférica, é a normal apontando para fora do volume do octante).

Passo 2

Idea do método (sem resolver ainda): o Teorema de Gauss (divergência) relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência sobre o volume interior. Como S não é uma superfície fechada (é só a parte esférica), vou completar a superfície fechada adicionando as três faces planas nos planos x=0, y=0 e z=0 dentro da esfera — assim obtenho a superfície fechada que delimita o volume do primeiro octante da bola de raio R. Vou aplicar o Teorema de Gauss à superfície fechada (que é S mais as três faces planas), calcular a integral tripla da divergência no volume e subtrair o fluxo através das faces planas (ou calcular diretamente que esses fluxos são zero).

Passo 3

Enunciando o Teorema de Gauss (divergência) numa forma prática: para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave e para um volume V limitado por uma superfície fechada orientada externamente \partial V,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\;dV.
Aqui \vec{n} é o versor normal exterior em cada ponto de \partial V, e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência do campo, dada por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z},
onde F_x,F_y,F_z são as componentes de \vec{F}.

Passo 4

Calculo da divergência do campo \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}. Aplicando a definição:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2x-2y+2z.
Vou usar esta função dentro da integral tripla sobre o volume V que é a bola de raio R restringida ao primeiro octante: V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2},\;x\ge0,y\ge0,z\ge0\}.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Gauss ao volume V (fechado por S mais as três faces planas S_x em x=0, S_y em y=0 e S_z em z=0), temos
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_x}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_y}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{S_z}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V}(2x-2y+2z)\,dV.
Meu objetivo é a primeira integral à esquerda (fluxo pela parte esférica S). Vou calcular a integral tripla do lado direito e os fluxos nas faces planas, e então isolar o fluxo em S.

Passo 6

Cálculo da integral tripla
I=\iiint_{V}(2x-2y+2z)\,dV = 2\iiint_{V}(x-y+z)\,dV.
Observação de simetria: o domínio V é simétrico permutando x,y,z (é o primeiro octante de uma esfera), portanto
\iiint_{V}x\,dV=\iiint_{V}y\,dV=\iiint_{V}z\,dV.
Chamando esse valor comum de A, temos
\iiint_{V}(x-y+z)\,dV = A - A + A = A,
logo
I=2A.
Assim basta calcular A=\iiint_{V}x\,dV.

Passo 7

Cálculo de A=\iiint_{V}x\,dV em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas usuais:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
No primeiro octante os limites são \rho\in[0,R], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque z\ge0), e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque x\ge0,y\ge0). Então
A=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} (\rho\sin\varphi\cos\theta)\; \rho^{2}\sin\varphi \;d\theta\,d\varphi\,d\rho.
Simplificando o integrando:
A=\int_{0}^{R}\rho^{3}\,d\rho\;\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 8

Calculo das integrais separadas:
  • Integral em \rho:
\int_{0}^{R}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=\left.\sin\theta\right|_{0}^{\pi/2}=1.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\varphi\,d\varphi=\frac{\pi}{4}.
(Explicação rápida: \sin^{2}\varphi=(1-\cos 2\varphi)/2, integrando de 0 a \pi/2 \pi/4.)
Multiplicando tudo:
A=\frac{R^{4}}{4}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot 1=\frac{\pi R^{4}}{16}.

Passo 9

Voltando ao valor I da divergência:
I=2A=2\cdot\frac{\pi R^{4}}{16}=\frac{\pi R^{4}}{8}.
Portanto a integral tripla da divergência sobre V é \dfrac{\pi R^{4}}{8}. Pelo Teorema de Gauss isso é igual ao fluxo através da superfície fechada (esfera parcial S mais as três faces planas).

Passo 10

Calculo dos fluxos através das faces planas S_x ( x=0), S_y ( y=0) e S_z ( z=0). No plano x=0 a normal exterior ao volume V é -\vec{i}. Sobre esse plano x=0 temos \vec{F}(0,y,z) = 0\cdot\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}. O produto escalar com a normal -\vec{i} é zero, portanto o fluxo por S_x é zero:
\iint_{S_x}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 0.
Analogamente, no plano y=0 a normal exterior é -\vec{j} e \vec{F}(x,0,z)=x^{2}\vec{i}+0\vec{j}+z^{2}\vec{k}, o produto escalar com -\vec{j} é zero, logo o fluxo por S_y é zero. No plano z=0 a normal exterior é -\vec{k} e \vec{F}(x,y,0)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+0\vec{k}, o produto escalar com -\vec{k} é zero, então o fluxo por S_z também é zero.

Passo 11

Concluindo: pela igualdade do Passo 5,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS + 0 + 0 + 0 = \iiint_{V}(2x-2y+2z)\,dV = \frac{\pi R^{4}}{8}.
Logo o fluxo através da parte esférica S (com normal exterior) é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \frac{\pi R^{4}}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi R^{4}}{8}

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