Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}-y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}; S é a parte da superfície da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, na direção da normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k} através da superfície S definida como a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}
com x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 (ou seja, o pedaço da esfera no primeiro octante), tomando a direção da normal exterior à região limitada. As informações relevantes são:
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}.
A superfície S é a porção esférica do primeiro octante da esfera de raio R.
A orientação é a normal exterior (para a porção esférica, é a normal apontando para fora do volume do octante).
Passo 2
Idea do método (sem resolver ainda): o Teorema de Gauss (divergência) relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral tripla da divergência sobre o volume interior. Como S não é uma superfície fechada (é só a parte esférica), vou completar a superfície fechada adicionando as três faces planas nos planos x=0, y=0 e z=0 dentro da esfera — assim obtenho a superfície fechada que delimita o volume do primeiro octante da bola de raio R. Vou aplicar o Teorema de Gauss à superfície fechada (que é S mais as três faces planas), calcular a integral tripla da divergência no volume e subtrair o fluxo através das faces planas (ou calcular diretamente que esses fluxos são zero).
Passo 3
Enunciando o Teorema de Gauss (divergência) numa forma prática: para um campo vetorial \vec{F} suficientemente suave e para um volume V limitado por uma superfície fechada orientada externamente \partial V,
Vou usar esta função dentro da integral tripla sobre o volume V que é a bola de raio R restringida ao primeiro octante: V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2},\;x\ge0,y\ge0,z\ge0\}.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Gauss ao volume V (fechado por S mais as três faces planas S_x em x=0, S_y em y=0 e S_z em z=0), temos
Meu objetivo é a primeira integral à esquerda (fluxo pela parte esférica S). Vou calcular a integral tripla do lado direito e os fluxos nas faces planas, e então isolar o fluxo em S.
No primeiro octante os limites são \rho\in[0,R], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque z\ge0), e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (porque x\ge0,y\ge0). Então
Portanto a integral tripla da divergência sobre V é \dfrac{\pi R^{4}}{8}. Pelo Teorema de Gauss isso é igual ao fluxo através da superfície fechada (esfera parcial S mais as três faces planas).
Passo 10
Calculo dos fluxos através das faces planas S_x (x=0), S_y (y=0) e S_z (z=0). No plano x=0 a normal exterior ao volume V é -\vec{i}. Sobre esse plano x=0 temos \vec{F}(0,y,z) = 0\cdot\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}. O produto escalar com a normal -\vec{i} é zero, portanto o fluxo por S_x é zero:
\iint_{S_x}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 0.
Analogamente, no plano y=0 a normal exterior é -\vec{j} e \vec{F}(x,0,z)=x^{2}\vec{i}+0\vec{j}+z^{2}\vec{k}, o produto escalar com -\vec{j} é zero, logo o fluxo por S_y é zero. No plano z=0 a normal exterior é -\vec{k} e \vec{F}(x,y,0)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+0\vec{k}, o produto escalar com -\vec{k} é zero, então o fluxo por S_z também é zero.