Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}; S é a parte da superfície do paraboloide elíptico z=\frac{H}{R^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right), z \leq H, na direção da normal exterior.

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}+y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k},
e a superfície S é a parte do paraboloide
z=\frac{H}{R^{2}}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),\qquad z\le H,
orientada pela normal exterior. O contorno quando z=H é o círculo x^{2}+y^{2}=R^{2}.
O que é pedido: calcular o fluxo de \vec{F} através de S na direção da normal exterior, isto é, o valor de
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é a normal exterior ao sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano z=H.

Passo 2

Estratégia (passo a passo): vamos aplicar o Teorema de Gauss (teorema da divergência) fechando a superfície com o disco horizontal no plano z=H. Denotando por S_{\text{top}} o disco z=H,\;x^{2}+y^{2}\le R^{2}, e por V o volume contido entre o paraboloide e o plano z=H, o teorema diz:
\iint_{S\cup S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Daí
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV - \iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Vou calcular cada termo à direita. (Explico tudo com calma.)

Passo 3

Calcular a divergência e interpretar:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) =2x+2y+2z.
Comentário didático: a divergência mede, localmente, a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Aqui é a soma das derivadas parciais das componentes; cada termo \partial(x^{2})/\partial x=2x etc.

Passo 4

Descrever o volume V e mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integral tripla. Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z e o elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. A superfície parabólica dá, em função de r,
z=\frac{H}{R^{2}}r^{2}.
Para o volume V temos, para cada r fixo, z variando de z_{\text{parab}}=\dfrac{H}{R^{2}}r^{2} até z=H. O raio máximo na base é r=R. Portanto os limites são
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le R,\quad \frac{H}{R^{2}}r^{2}\le z\le H.

Passo 5

Avaliar a integral tripla da divergência sobre V. Escrevemos
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV =2\iiint_{V}(x+y+z)\,dV.
Em cilíndricas x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, então
\iiint_{V}x\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{\frac{H}{R^{2}}r^{2}}^{H} r\cos\theta\; r\,dz\,dr\,d\theta,
e similar para y. Pela simetria angular, as integrais de x e de y sobre 0\le\theta\le2\pi anulam-se (porque \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0). Portanto só resta o termo com z:
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV =2\iiint_{V}z\,dV.

Passo 6

Calcular \displaystyle \iiint_{V} z\,dV em cilíndricas, mostrando cada conta:
\iiint_{V} z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{\frac{H}{R^{2}}r^{2}}^{H} z\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em z:
\int_{\frac{H}{R^{2}}r^{2}}^{H} z\,dz=\left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{\frac{H}{R^{2}}r^{2}}^{H} =\frac{H^{2}}{2}-\frac{H^{2}}{2R^{4}}r^{4}.
Multiplicando por r (do jacobiano) e integrando em r:
\int_{0}^{R}\left(\frac{H^{2}}{2}r-\frac{H^{2}}{2R^{4}}r^{5}\right)dr =\frac{H^{2}}{2}\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{R}-\frac{H^{2}}{2R^{4}}\left[\frac{r^{6}}{6}\right]_{0}^{R}.
Calcule os termos:
\frac{H^{2}}{2}\cdot\frac{R^{2}}{2}=\frac{H^{2}R^{2}}{4}, \qquad \frac{H^{2}}{2R^{4}}\cdot\frac{R^{6}}{6}=\frac{H^{2}R^{2}}{12}.
Subtraindo:
\int_{0}^{R}\cdots dr=\frac{H^{2}R^{2}}{4}-\frac{H^{2}R^{2}}{12}=\frac{H^{2}R^{2}}{6}.
Agora integra-se em \theta de 0 a 2\pi:
\iiint_{V} z\,dV =2\pi\cdot\frac{H^{2}R^{2}}{6}=\frac{\pi H^{2}R^{2}}{3}.
Logo
\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV =2\cdot\frac{\pi H^{2}R^{2}}{3}=\frac{2\pi H^{2}R^{2}}{3}.

Passo 7

Calcular o fluxo através do disco superior S_{\text{top}} (plano z=H, raio R). No disco temos normal exterior ao volume V igual a \vec{n}=\vec{k} (unitário para cima), e dS=dA. Então
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{x^{2}+y^{2}\le R^{2}} z^{2}\big|_{z=H}\;dA =H^{2}\cdot\text{Area of disk}=H^{2}\cdot\pi R^{2}.

Passo 8

Agora aplicamos a relação do Passo 2:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V}\nabla\cdot\vec{F}\,dV - \iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Substituindo os valores obtidos:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \frac{2\pi H^{2}R^{2}}{3}-\pi H^{2}R^{2} =\pi H^{2}R^{2}\!\left(\frac{2}{3}-1\right) =-\frac{\pi H^{2}R^{2}}{3}.

Resposta

-\dfrac{\pi H^{2}R^{2}}{3}

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