Use o Teorema de Gauss para calcular
o fluxo de \vec{F}(x, y, z)=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}; S é a parte da superfície do paraboloide elíptico z=\frac{H}{R^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right), z \leq H, na direção da normal exterior.
orientada pela normal exterior. O contorno quando z=H é o círculo x^{2}+y^{2}=R^{2}.
O que é pedido: calcular o fluxo de \vec{F} através de S na direção da normal exterior, isto é, o valor de
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é a normal exterior ao sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano z=H.
Passo 2
Estratégia (passo a passo): vamos aplicar o Teorema de Gauss (teorema da divergência) fechando a superfície com o disco horizontal no plano z=H. Denotando por S_{\text{top}} o disco z=H,\;x^{2}+y^{2}\le R^{2}, e por V o volume contido entre o paraboloide e o plano z=H, o teorema diz:
Comentário didático: a divergência mede, localmente, a “taxa de saída” do campo por unidade de volume. Aqui é a soma das derivadas parciais das componentes; cada termo \partial(x^{2})/\partial x=2x etc.
Passo 4
Descrever o volume V e mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integral tripla. Em coordenadas cilíndricas usamos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z e o elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta. A superfície parabólica dá, em função de r,
z=\frac{H}{R^{2}}r^{2}.
Para o volume V temos, para cada r fixo, z variando de z_{\text{parab}}=\dfrac{H}{R^{2}}r^{2} até z=H. O raio máximo na base é r=R. Portanto os limites são
0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le R,\quad \frac{H}{R^{2}}r^{2}\le z\le H.
Passo 5
Avaliar a integral tripla da divergência sobre V. Escrevemos
e similar para y. Pela simetria angular, as integrais de x e de y sobre 0\le\theta\le2\pi anulam-se (porque \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0 e \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0). Portanto só resta o termo com z:
Calcular o fluxo através do disco superior S_{\text{top}} (plano z=H, raio R). No disco temos normal exterior ao volume V igual a \vec{n}=\vec{k} (unitário para cima), e dS=dA. Então
\iint_{S_{\text{top}}}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iint_{x^{2}+y^{2}\le R^{2}} z^{2}\big|_{z=H}\;dA =H^{2}\cdot\text{Area of disk}=H^{2}\cdot\pi R^{2}.