Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=y\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} \vec{i}-x\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} \vec{j}+(z+1) \vec{k}
e
\Omega
é a borda da região sólida limitada acima pelo plano
z=2 x
e abaixo pelo parabolóide
z=x{2}+y{2}
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{\Omega}\vec F\cdot d\vec S
onde \Omega é a superfície limite do sólido V orientada para fora, e
\vec F = y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}\,\vec i \;-\; x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3/2}\,\vec j \;+\;(z+1)\,\vec k.
O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que transforma esse fluxo numa integral tripla do divergente de \vec F sobre V.

Passo 2

Primeiro calculamos o divergente de \vec F:
\div \vec F =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[y(x^{2}+y^{2})^{3/2}\Bigr] +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl[-\,x(x^{2}+y^{2})^{3/2}\Bigr] +\frac{\partial}{\partial z}(z+1).
Derivando,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[y\,R^{3/2}\bigr] = y\cdot\frac{3}{2}R^{1/2}\cdot2x=3xy\,R^{1/2}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl[-x\,R^{3/2}\bigr] =-\,x\cdot\frac{3}{2}R^{1/2}\cdot2y=-3xy\,R^{1/2},
onde R=x^2+y^2, e
\frac{\partial}{\partial z}(z+1)=1.
Logo
\div \vec F = 3xy\,R^{1/2}-3xy\,R^{1/2}+1 = 1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\Omega}\vec F\cdot d\vec S =\iiint_{V}\div \vec F \,dV =\iiint_{V}1\,dV = \text{Vol}(V).
Ou seja, basta calcular o volume da região V limitada abaixo por
z = x^2+y^2
e acima por
z = 2x.

Passo 4

A projeção de V no plano xy é o conjunto
D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le2x\},
que em coordenadas polares (x=r\cos\theta,y=r\sin\theta) vira
r^2\le2r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad 0\le r\le2\cos\theta, \quad -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.
Para cada (r,\theta) o z varia de z=r^2 até z=2r\cos\theta.

Passo 5

Escrevendo o volume em coordenadas polares:
\text{Vol}(V) =\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=0}^{2\cos\theta} \int_{z=r^2}^{2r\cos\theta} r\,dz\,dr\,d\theta.
Integrando em z:
\int_{r^2}^{2r\cos\theta}r\,dz =r\bigl(2r\cos\theta - r^2\bigr) =2r^2\cos\theta -r^3.
Então
\text{Vol}(V) =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{2\cos\theta} \bigl(2r^2\cos\theta -r^3\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculando a integral em r:
\int_{0}^{2\cos\theta}2r^2\cos\theta\,dr =2\cos\theta\cdot\frac{(2\cos\theta)^3}{3} =\frac{16}{3}\cos^4\theta, \quad \int_{0}^{2\cos\theta}r^3\,dr =\frac{(2\cos\theta)^4}{4} =4\cos^4\theta.
Portanto o integrando vale
\frac{16}{3}\cos^4\theta - 4\cos^4\theta =\frac{4}{3}\cos^4\theta,
e
\text{Vol}(V) =\frac{4}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta.
Como \cos^4\theta é par,
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta =2\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta =2\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{3\pi}{8}.
Logo
\text{Vol}(V) =\frac{4}{3}\cdot\frac{3\pi}{8} =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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