Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=y\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} \vec{i}-x\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} \vec{j}+(z+1) \vec{k}
e
\Omega
é a borda da região sólida limitada acima pelo plano
z=2 x
e abaixo pelo parabolóide
z=x{2}+y{2}
.
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=y\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} \vec{i}-x\left(x{2}+y{2}\right)^{3 / 2} \vec{j}+(z+1) \vec{k}
e
\Omega
é a borda da região sólida limitada acima pelo plano
z=2 x
e abaixo pelo parabolóide
z=x{2}+y{2}
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a superfície limite do sólido
orientada para fora, e
O conteúdo é o Teorema da Divergência (ou de Gauss), que transforma esse fluxo numa integral tripla do divergente de
sobre
.
Passo 2
Primeiro calculamos o divergente de
:
Derivando,
onde
, e
Logo
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência,
Ou seja, basta calcular o volume da região
limitada abaixo por
e acima por
Passo 4
A projeção de
no plano
é o conjunto
que em coordenadas polares
vira
Para cada
o
varia de
até
.
Passo 5
Escrevendo o volume em coordenadas polares:
Integrando em
:
Então
Passo 6
Calculando a integral em
:
Portanto o integrando vale
e
Como
é par,
Logo