Use o teorema de Gauss para calcular \int_{B} \nabla \cdot F d V onde \vec{F}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x \vec{i}+y \vec{j}) e B é a região sólida definida por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{B} \nabla\cdot \vec F\,dV
onde
\vec F(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\bigl(x\,\vec i + y\,\vec j\bigr)
e B é a bola unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1.
Vamos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que afirma:
\int_{B}\nabla\cdot \vec F\,dV \;=\;\int_{\partial B}\vec F\cdot \vec n\,dS.
Precisamos então parametrizar a superfície da esfera de raio 1, achar \vec F\cdot\vec n nela e integrar.

Passo 2

A fronteira \partial B é a esfera de raio 1. Em cada ponto da esfera a normal unitária exterior é
\vec n = \frac{(x,y,z)}{1} = (x,y,z).
Sobre \partial B temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, logo
\vec F\bigl|_{\partial B} = 1\cdot(x\,\vec i + y\,\vec j) = (x,y,0).

Passo 3

O produto escalar em \partial B fica
\vec F\cdot \vec n = (x,y,0)\cdot(x,y,z) = x^{2}+y^{2}.
Assim
\int_{B}\nabla\cdot \vec F\,dV = \int_{\partial B} (x^{2}+y^{2})\,dS.

Passo 4

Usamos coordenadas esféricas:
x=\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\sin\theta\sin\varphi,\quad dS=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi,
com \theta\in[0,\pi], \varphi\in[0,2\pi]. Então
x^{2}+y^{2} = \sin^{2}\theta,
e a integral de superfície é
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} \sin^{2}\theta\;\sin\theta\,d\theta\,d\varphi = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta = \frac{4}{3}.
Logo
\int_{B}\nabla\cdot \vec F\,dV = 2\pi \times \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

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