Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
e
\Omega
é a superfície que é borda da região sólida no primeiro octante, dentro do cilndro
x{2}+y{2}=1
e entre os planos
z=0
e
z=1
.
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
e
\Omega
é a superfície que é borda da região sólida no primeiro octante, dentro do cilndro
x{2}+y{2}=1
e entre os planos
z=0
e
z=1
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a superfície que limita o sólido no primeiro octante dentro do cilindro
entre
e
. Vamos usar o Teorema de Gauss (divergência) para transformar esse fluxo numa integral de volume sobre a região
interior a
.
Passo 2
O Teorema de Gauss diz que
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Portanto
Passo 4
A região
é o sólido no primeiro octante sob o cilindro de raio
e altura
. A base em
é um quarto de círculo de raio
, cuja área é
e a altura em
é
. Logo
Passo 5
Substituindo na expressão do fluxo: