Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}
e
\Omega
é a superfície que é borda da região sólida no primeiro octante, dentro do cilndro
x{2}+y{2}=1
e entre os planos
z=0
e
z=1
.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{\Omega}\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F = x\,\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k e \Omega é a superfície que limita o sólido no primeiro octante dentro do cilindro x^2+y^2=1 entre z=0 e z=1. Vamos usar o Teorema de Gauss (divergência) para transformar esse fluxo numa integral de volume sobre a região V interior a \Omega.

Passo 2

O Teorema de Gauss diz que
\iint_{\Omega}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec F \,dV.
Calculamos a divergência de \vec F:
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

Portanto
\iint_{\Omega}\vec F\cdot d\vec S = \iiint_{V} 3 \,dV = 3 \iiint_{V} dV = 3 \,\mathrm{Vol}(V).

Passo 4

A região V é o sólido no primeiro octante sob o cilindro de raio 1 e altura 1. A base em xy é um quarto de círculo de raio 1, cuja área é
\frac{\pi\cdot1^2}{4} = \frac{\pi}{4},
e a altura em z é 1. Logo
\mathrm{Vol}(V) = \frac{\pi}{4}\times 1 = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo na expressão do fluxo:
\iint_{\Omega}\vec F\cdot d\vec S = 3 \times \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.

Resposta

\frac{3\pi}{4}

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