Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}
e
\Omega
é a borda da região sólida situada no interior do cilindro
x{2}+y{2}=4 \mathrm{e}
entre os planos
z=0
e
z=2
.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo
\iint_{\Omega}\vec{F}\cdot d\vec{S}
onde \vec{F}=x^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+z^{2}\,\vec{k} e \Omega é a superfície fechada formada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 entre os planos z=0 e z=2, com orientação externa. Vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que esse fluxo é igual ao integral triplo do divergente de \vec{F} sobre o volume V delimitado por \Omega.

Passo 2

Calculamos o divergente de \vec{F}:
\mathrm{div}\,\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2) +\frac{\partial}{\partial y}(y^2) +\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =2x+2y+2z.
Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{\Omega}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV.

Passo 3

Observamos que a região V é simétrica em x e y, logo
\iiint_{V}2x\,dV =\iiint_{V}2y\,dV=0.
Sobra
\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV =2\iiint_{V}z\,dV.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \iiint_{V} z \, dV, usamos coordenadas cilíndricas:
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z, \quad dV = r \, dr \, d\theta \, dz,
com r \in [0,2], \theta \in [0,2\pi], z \in [0,2]. Então
\iiint_{V} z \, dV = \int_{0}^{2} \! \! \int_{0}^{2\pi} \! \! \int_{0}^{2} z \, (r \, dr \, d\theta \, dz).
Separamos as integrais:
\Bigl( \int_{0}^{2} r \, dr \Bigr) \Bigl( \int_{0}^{2\pi} d\theta \Bigr) \Bigl( \int_{0}^{2} z \, dz \Bigr) = \bigl[ \tfrac{r^{2}}{2} \bigr]_{0}^{2} \cdot (2\pi) \cdot \bigl[ \tfrac{z^{2}}{2} \bigr]_{0}^{2} = 2 \cdot 2\pi \cdot 2 = 8\pi.

Passo 5

Portanto,
\iiint_{V}(2x+2y+2z)\,dV =2\iiint_{V}z\,dV =2\cdot8\pi =16\pi.

Resposta

\,16\pi

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