Use o teorema de Gauss para calcular
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}
e
\Omega
é a borda da região sólida situada no interior do cilindro
x{2}+y{2}=4 \mathrm{e}
entre os planos
z=0
e
z=2
.
\int_{\Omega} \vec{F} \cdot d \vec{S}
onde
\Omega
é orientada com vetor normal apontando para fora.
\vec{F}=x^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+z^{2} \vec{k}
e
\Omega
é a borda da região sólida situada no interior do cilindro
x{2}+y{2}=4 \mathrm{e}
entre os planos
z=0
e
z=2
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
onde
e
é a superfície fechada formada pelo cilindro
entre os planos
e
, com orientação externa. Vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que esse fluxo é igual ao integral triplo do divergente de
sobre o volume
delimitado por
.
Passo 2
Calculamos o divergente de
:
Pelo Teorema de Gauss,
Passo 3
Observamos que a região
é simétrica em
e
, logo
Sobra
Passo 4
Para calcular
, usamos coordenadas cilíndricas:
com
,
,
. Então
Separamos as integrais:
Passo 5
Portanto,