Use o Teorema de Gauss (da Divergência) para calcular o fluxo de
através da superfície delimitada pelo cilindro
e os planos
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela superfície fechada dada pelo cilindro
e pelos planos
e
. O conteúdo da matéria é o Teorema de Gauss (ou da Divergência) e vamos precisar calcular a divergência de
e integrar sobre o volume cilíndrico.
Passo 2
O Teorema de Gauss diz que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é igual ao triplo integral da divergência sobre o volume
delimitado por
:
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
:
Derivando termo a termo:
Logo:
Passo 4
Como a divergência é constante, o fluxo vira:
No sistema cilíndrico temos
e
. Calculando o volume:
Passo 5
Bastou multiplicar a divergência pelo volume para obter o fluxo: