Use o Teorema de Gauss (da Divergência) para calcular o fluxo de
F(x, y, z)=(x3-y^2 z^3) i+(54 x^2 sen z-y7) j+(4 e^x cos y-z7) k
através da superfície delimitada pelo cilindro x^2+y^2=9 e os planos z=1 e z=8.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(tfracx3-y^2z^3),i+(tfrac54x^2sin z-tfracy7),j+(4e^xcos y-tfracz7),k pela superfície fechada dada pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=1 e z=8. O conteúdo da matéria é o Teorema de Gauss (ou da Divergência) e vamos precisar calcular a divergência de F e integrar sobre o volume cilíndrico.

Passo 2

O Teorema de Gauss diz que o fluxo de F através de uma superfície fechada S é igual ao triplo integral da divergência sobre o volume V delimitado por S:
Phi=integral duplaSFcdotn,dS=integral triplaVnablacdotF,dV

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F:
nablacdotF=partialpartial xl(tfracx3-y^2z^3r)+partialpartial yl(tfrac54x^2sin z-tfracy7r)+partialpartial zl(4e^xcos y-tfracz7r)
Derivando termo a termo:
partialpartial xl(tfracx3-y^2z^3r)=tfrac13, partialpartial yl(tfrac54x^2sin z-tfracy7r)=-tfrac17, partialpartial zl(4e^xcos y-tfracz7r)=-tfrac17
Logo:
nablacdotF=tfrac13-tfrac17-tfrac17=tfrac121

Passo 4

Como a divergência é constante, o fluxo vira:
Phi=121integral triplaVdV
No sistema cilíndrico temos V:,0<= r<=3,,0<=theta<=2pi,,1<= z<=8 e dV=r,dr,dtheta,dz. Calculando o volume:
integral triplaVdV=integralz=1^8integraltheta=0^2piintegralr=0^3r,dr,dtheta,dz=l(8-1r)cdot2picdot3^22=63pi

Passo 5

Bastou multiplicar a divergência pelo volume para obter o fluxo:
Phi=tfrac121times63pi=3pi

Resposta

3pi

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