Se b e c são constantes e s=sigma+j omega, prove:
,

Passo 1

A questão pede para provar que a transformada de Laplace de t é 1/s^2, considerando s=sigma+jomega com sigma>0. O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar sua definição e integração por partes.

Passo 2

Pela definição da transformada, para uma função f(t) temos
Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Substituindo f(t)=t obtemos
Lt=integral0^inftyt,e^-st,dt
com a condição de convergência Re(s)>0.

Passo 3

Para avaliar integral0^inftyt,e^-st,dt, aplicamos integração por partes. Escolhemos:
&u=t, &dv=e^-st,dt
Então
du=dt, v=-1se^-st
Isso dá
integral0^inftyt,e^-st,dt =[-tse^-st]0^infty +1sintegral0^inftye^-st,dt

Passo 4

Como sigma=Re(s)>0, temos limttoinftyt e^-st=0 e em t=0 o termo também é zero. Logo só resta calcular
integral0^inftye^-st,dt=1s
e portanto
Lt =1scdot1s =1s^2

Resposta

1/s^2

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