Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{y^{2}}{1+x^{2}}, 2 y \arctan (x)+1\right)
(a) \vec{F}(x, y) é conservativo? Justifique sua resposta.
(b) Determine uma função f tal que \vec{F}=\nabla f.
(c) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é dado por r(t)=\left(t^{2}, 2 t\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y)=\left(\frac{y^{2}}{1+x^{2}},\;2y\arctan(x)+1\right)
e faz três perguntas:
(a) Pergunta se \vec{F}(x,y) é conservativo e pede justificativa.
(b) Pede para determinar uma função f tal que \vec{F}=\nabla f (ou seja, encontrar um potencial escalar f).
(c) Pede para calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde a curva C é dada por r(t)=\big(t^{2},2t\big) com 0\le t\le1.
Informações relevantes fornecidas: expressões das componentes do campo vetorial (a componente x e a componente y), e a parametrização da curva C com seus extremos em t=0 e t=1. Não há outra figura ou tabela.

Passo 2

O que significa ser conservativo e qual teste prático usar aqui. Vou explicar com calma.
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) é conservativo em um domínio se existe uma função f(x,y) tal que \nabla f=(f_x,f_y)=(P,Q).
  • Um teste prático muito usado para campos definidos em \mathbb{R}^2 (domínio sem “buracos”, isto é, simplesmente conexo) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se isso ocorrer em todo o domínio (e o domínio for simplesmente conexo), então \vec{F} é conservativo.
Agora identifico as componentes do nosso campo:
P(x,y)=\frac{y^{2}}{1+x^{2}},\qquad Q(x,y)=2y\arctan(x)+1.

Passo 3

Calculo das derivadas parciais cruzadas (faço passo a passo, sem pular nada).
  • Calculo \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}. Trato x como constante e derivo em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\right)=\frac{2y}{1+x^{2}}.
Aqui usei que \frac{d}{dy}(y^2)=2y e que 1+x^{2} é constante em relação a y.
  • Calculo \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}. Trato y como constante e derivo em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\big(2y\arctan(x)+1\big)=2y\cdot\frac{d}{dx}\arctan(x)+0=2y\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{2y}{1+x^{2}}.
As duas derivadas parciais coincidem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{2y}{1+x^{2}}.

Passo 4

Conclusão sobre conservatividade e observação sobre o domínio.
  • O campo está definido para todos os x,y\in\mathbb{R} (porque \arctan(x) é definida em todo \mathbb{R} e 1+x^{2}\neq0). Logo o domínio é \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo (não tem buracos).
  • Como \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} em todo o domínio e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que \vec{F} é conservativo. (Isto é uma aplicação do critério de igualdade das derivadas cruzadas em domínios simplesmente conexos.)

Passo 5

Procuro um potencial f tal que f_x=P e f_y=Q. Vou integrar f_x=P em relação a x, tratando y como constante.
Começo com
f_x(x,y)=\frac{y^{2}}{1+x^{2}}.
Integro em x:
f(x,y)=\int \frac{y^{2}}{1+x^{2}}\,dx = y^{2}\int\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = y^{2}\arctan(x)+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque integramos em x). Aqui usei que \displaystyle\int\frac{1}{1+x^{2}}dx=\arctan(x).

Passo 6

Determino g(y) impondo f_y=Q. Primeiro calculo f_y a partir da expressão obtida:
f(x,y)=y^{2}\arctan(x)+g(y) \quad\Rightarrow\quad f_y(x,y)=2y\arctan(x)+g'(y).
Como deve valer f_y=Q=2y\arctan(x)+1, igualo:
2y\arctan(x)+g'(y)=2y\arctan(x)+1.
Subtraindo 2y\arctan(x) dos dois lados fica g'(y)=1. Integrando em y:
g(y)=\int 1\,dy = y + C,
onde C é constante real. Portanto uma função potencial é
f(x,y)=y^{2}\arctan(x)+y+C.
Podemos escolher C=0 se quisermos um potencial simples. Vou usar C=0 nas contas seguintes.

Passo 7

Agora uso o potencial para calcular a integral de linha. Explico a ferramenta: se \vec{F}=\nabla f for conservativo, então para qualquer curva suave C orientada de A a B,
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A),
que é o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente. A curva C dada por r(t)=(t^{2},2t), 0\le t\le1, tem ponto inicial (quando t=0) e final (quando t=1):
A=r(0)=(0^{2},2\cdot0)=(0,0),\qquad B=r(1)=(1^{2},2\cdot1)=(1,2).
Como já temos f(x,y)=y^{2}\arctan(x)+y, calculo f em B e em A:
f(1,2)=2^{2}\arctan(1)+2=4\cdot\frac{\pi}{4}+2=\pi+2,
porque \arctan(1)=\pi/4. E
f(0,0)=0^{2}\arctan(0)+0=0.
Logo
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)=(\pi+2)-0=\pi+2.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional, só para reforçar como faria na prova se quisesse checar): calcular diretamente pela parametrização \vec{r}(t). Vou resumir os passos sem pular contas importantes.
  • \vec{r}(t)=(t^{2},2t) então \vec{r}\,'(t)=(2t,2).
  • Avalio \vec{F} ao longo da curva: x=t^{2},\;y=2t, então
P=\frac{y^{2}}{1+x^{2}}=\frac{(2t)^{2}}{1+(t^{2})^{2}}=\frac{4t^{2}}{1+t^{4}},
Q=2y\arctan(x)+1=2(2t)\arctan(t^{2})+1=4t\arctan(t^{2})+1.
  • Produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\frac{4t^{2}}{1+t^{4}}\cdot 2t + \big(4t\arctan(t^{2})+1\big)\cdot 2 = \frac{8t^{3}}{1+t^{4}} + 8t\arctan(t^{2}) + 2.
  • Integro de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{8t^{3}}{1+t^{4}} + 8t\arctan(t^{2}) + 2\right)dt.
Faço cada parte: com substituição u=t^{4} tem \int_{0}^{1}\frac{8t^{3}}{1+t^{4}}dt = 2\ln(1+t^{4})\Big|_{0}^{1}=2\ln 2.
Para \int_{0}^{1}8t\arctan(t^{2})dt uso u=t^{2}, du=2t\,dt e obtenho 4\int_{0}^{1}\arctan(u)\,du=4\left(u\arctan(u)-\tfrac{1}{2}\ln(1+u^{2})\right)\Big|_{0}^{1}=\pi-2\ln 2.
Somando as partes e \int_{0}^{1}2\,dt=2 2\ln2+(\pi-2\ln2)+2=\pi+2. Confere com o resultado usando o potencial.

Resposta

(a) Sim. \vec{F} é conservativo porque \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\right)=\frac{2y}{1+x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\!\big(2y\arctan(x)+1\big) em todo \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo.
(b) f(x,y)=y^{2}\arctan(x)+y+C (podemos escolher C=0).
(c) \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\pi+2.

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