1. Considere a curva parametrizada por
\alpha(t)=\left(e^{t / 2} \cos t, e^{t / 2} \operatorname{sen} t\right), \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}
(a) Ache d s, o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada \alpha.
(b) Calcule o comprimento desta curva.
(c) Calcule
\int_{\alpha} y d s

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\bigl(e^{t/2}\cos t,\;e^{t/2}\sin t\bigr),\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2},
e pede três coisas:
  1. (a) achar d s, o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada \alpha;
  2. (b) calcular o comprimento da curva (ou seja, a integral de d s entre os extremos do parâmetro);
  3. (c) calcular \displaystyle\int_{\alpha} y\,d s (a integral ao longo da curva da função y em relação ao comprimento de arco).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A parametrização \alpha(t) é explícita nas componentes x(t)=e^{t/2}\cos t e y(t)=e^{t/2}\sin t.
  • O intervalo do parâmetro é [0,\pi/2].
  • Para curvas parametrizadas por \alpha(t), o elemento de comprimento é dado por d s=\|\alpha'(t)\|\,dt. (Vamos usar isso na resolução.)

Passo 2

Vamos calcular a derivada vetorial \alpha'(t). Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia, lembrando que a derivada de e^{t/2} é \tfrac{1}{2}e^{t/2}, a derivada de \cos t é -\sin t e a de \sin t é \cos t.
Calculemos as componentes:
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\;y'(t)\bigr)
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}\cos t\bigr) = e^{t/2}\!\left(\frac{1}{2}\cos t\right)+e^{t/2}\!(-\sin t) = e^{t/2}\!\left(\frac{1}{2}\cos t-\sin t\right),
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}\sin t\bigr) = e^{t/2}\!\left(\frac{1}{2}\sin t\right)+e^{t/2}\!(\cos t) = e^{t/2}\!\left(\frac{1}{2}\sin t+\cos t\right).

Passo 3

Agora precisamos da norma \|\alpha'(t)\|. A norma ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes; fatoramos e^{t/2} porque aparece em ambas as componentes:
\|\alpha'(t)\|^2 = e^{t}\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{2}\cos t-\sin t\bigr)^2+\bigl(\tfrac{1}{2}\sin t+\cos t\bigr)^2\Bigr).
Vamos simplificar a expressão entre parênteses. Seja a=\tfrac{1}{2}. Então calculamos
(a\cos t-\sin t)^2+(a\sin t+\cos t)^2.
Expandindo:
= a^2\cos^2 t -2a\cos t\sin t +\sin^2 t + a^2\sin^2 t +2a\sin t\cos t +\cos^2 t.
Os termos mistos -2a\cos t\sin t e +2a\sin t\cos t se cancelam. Agrupando \cos^2 t+\sin^2 t=1 e a^2(\cos^2 t+\sin^2 t)=a^2, obtemos
= a^2 + 1.
Substituindo a=\tfrac{1}{2} a^2=\tfrac{1}{4}, logo
(a\cos t-\sin t)^2+(a\sin t+\cos t)^2 = 1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.
Portanto
\|\alpha'(t)\|^2 = e^{t}\cdot\frac{5}{4},
e tomando raiz positiva
\|\alpha'(t)\| = \frac{\sqrt{5}}{2}\,e^{t/2}.

Passo 4

Com \|\alpha'(t)\| em mãos, escrevemos o elemento de comprimento de arco d s. Por definição,
d s = \|\alpha'(t)\|\,dt = \frac{\sqrt{5}}{2}\,e^{t/2}\,dt.
Isto responde a parte (a).

Passo 5

Agora calculamos o comprimento da curva (parte (b)). O comprimento L é
L=\int_{0}^{\pi/2} d s = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sqrt{5}}{2}\,e^{t/2}\,dt.
Fatoramos a constante \tfrac{\sqrt{5}}{2} e integramos e^{t/2}. A primitiva de e^{t/2} é 2e^{t/2}, porque \tfrac{d}{dt}(2e^{t/2})=2\cdot\tfrac{1}{2}e^{t/2}=e^{t/2}.
Logo
L=\frac{\sqrt{5}}{2}\left[2e^{t/2}\right]_{0}^{\pi/2} = \sqrt{5}\,\bigl(e^{\pi/4}-e^{0}\bigr) = \sqrt{5}\,\bigl(e^{\pi/4}-1\bigr).

Passo 6

Passamos à parte (c): calcular \displaystyle\int_{\alpha} y\,d s. Usamos a parametrização: essa integral é
\int_{\alpha} y\,d s = \int_{0}^{\pi/2} y(t)\,\|\alpha'(t)\|\,dt.
Substituindo y(t)=e^{t/2}\sin t e \|\alpha'(t)\|=\tfrac{\sqrt{5}}{2}e^{t/2}, obtemos
\int_{\alpha} y\,d s = \int_{0}^{\pi/2} \left(e^{t/2}\sin t\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{2}e^{t/2}\right)dt = \frac{\sqrt{5}}{2}\int_{0}^{\pi/2} e^{t}\sin t\,dt.
Portanto precisamos calcular I=\int_{0}^{\pi/2} e^{t}\sin t\,dt. Vou usar a primitiva conhecida por integração por partes (ou o método de resolver a integral de e^{t}\sin t por partes duas vezes). A primitiva de e^{t}\sin t é
\int e^{t}\sin t\,dt = \frac{e^{t}}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr)+C.
(Verificação rápida: derivando o lado direito obtemos e^{t}\sin t.)
Agora avaliamos de 0 a \pi/2:
I=\left[\frac{e^{t}}{2}\bigl(\sin t - \cos t\bigr)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\Bigl(e^{\pi/2}(\sin\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{2}) - e^{0}(\sin 0-\cos 0)\Bigr).
Usando \sin\frac{\pi}{2}=1, \cos\frac{\pi}{2}=0, \sin 0=0, \cos 0=1, obtemos
I=\frac{1}{2}\bigl(e^{\pi/2} - (0-1)\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(e^{\pi/2}+1\bigr).
Finalmente,
\int_{\alpha} y\,d s = \frac{\sqrt{5}}{2}\,I = \frac{\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{\pi/2}+1\bigr) = \frac{\sqrt{5}}{4}\bigl(e^{\pi/2}+1\bigr).

Resposta

(a) d s=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,e^{t/2}\,dt.
(b) L=\sqrt{5}\,\bigl(e^{\pi/4}-1\bigr).
(c) \displaystyle\int_{\alpha} y\,d s=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\bigl(e^{\pi/2}+1\bigr).

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