- Considere a curva parametrizada por
(a) Ache
, o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada
.
(b) Calcule o comprimento desta curva.
(c) Calcule
(b) Calcule o comprimento desta curva.
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede três coisas:
- (a) achar
, o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada ; - (b) calcular o comprimento da curva (ou seja, a integral de
entre os extremos do parâmetro); - (c) calcular
(a integral ao longo da curva da função em relação ao comprimento de arco).
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A parametrização
é explícita nas componentes e . - O intervalo do parâmetro é
. - Para curvas parametrizadas por
, o elemento de comprimento é dado por . (Vamos usar isso na resolução.)
Passo 2
Vamos calcular a derivada vetorial
. Vou usar a regra do produto e a regra da cadeia, lembrando que a derivada de
é
, a derivada de
é
e a de
é
.
Calculemos as componentes:
Passo 3
Agora precisamos da norma
. A norma ao quadrado é a soma dos quadrados das componentes; fatoramos
porque aparece em ambas as componentes:
Vamos simplificar a expressão entre parênteses. Seja
. Então calculamos
Expandindo:
Os termos mistos
e
se cancelam. Agrupando
e
, obtemos
Substituindo
dá
, logo
Portanto
e tomando raiz positiva
Passo 4
Com
em mãos, escrevemos o elemento de comprimento de arco
. Por definição,
Isto responde a parte (a).
Passo 5
Agora calculamos o comprimento da curva (parte (b)). O comprimento
é
Fatoramos a constante
e integramos
. A primitiva de
é
, porque
.
Logo
Passo 6
Passamos à parte (c): calcular
. Usamos a parametrização: essa integral é
Substituindo
e
, obtemos
Portanto precisamos calcular
. Vou usar a primitiva conhecida por integração por partes (ou o método de resolver a integral de
por partes duas vezes). A primitiva de
é
(Verificação rápida: derivando o lado direito obtemos
.)
Agora avaliamos de
a
:
Usando
,
,
,
, obtemos
Finalmente,
Resposta
(a)
(b)
(c)