Calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y, z)=\langle\operatorname{sen}(x), \cos (y), x z\rangle e r(t)=\left\langle t^{3},-t^{2}, t\right\rangle, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha \int_{C} F\cdot d r onde foram dadas as seguintes informações:
  • O campo vetorial é \displaystyle F(x,y,z)=\langle \operatorname{sen}(x),\; \cos(y),\; xz\rangle.
  • A curva C é a parametrização \displaystyle r(t)=\langle t^{3},\; -t^{2},\; t\rangle, com 0\le t\le 1.
Ou seja, precisamos calcular a integral de F ao longo da curva parametrizada por r(t) no intervalo t\in[0,1].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando bem): se uma curva C é parametrizada por r(t), a\le t\le b, então a integral de linha do campo F ao longo de C é
\int_{C} F\cdot d r \;=\; \int_{a}^{b} F(r(t))\cdot r'(t)\,dt.
Aqui:
  • F(r(t)) significa substituir (x,y,z)=r(t) em F(x,y,z).
  • r'(t) é a derivada componente a componente de r(t).
  • O produto F(r(t))\cdot r'(t) é o produto escalar: multiplicar cada componente correspondente e somar.

Passo 3

Calcular r'(t) derivando componente a componente:
r(t)=\langle t^{3},\; -t^{2},\; t\rangle
r'(t)=\langle 3t^{2},\; -2t,\; 1\rangle.
Expliquei: derivada de t^{3} é 3t^{2}; de -t^{2} é -2t; de t é 1.

Passo 4

Substituir r(t) em F para obter F(r(t)).
Temos x=t^{3}, y=-t^{2}, z=t. Então
F(r(t))=\langle \operatorname{sen}(t^{3}),\; \cos(-t^{2}),\; (t^{3})\cdot t\rangle.
Observação: \cos(-t^{2})=\cos(t^{2}) porque o cosseno é função par. Portanto
F(r(t))=\langle \operatorname{sen}(t^{3}),\; \cos(t^{2}),\; t^{4}\rangle.

Passo 5

Calcular o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t):
F(r(t))\cdot r'(t) = \operatorname{sen}(t^{3})\cdot 3t^{2} \;+\; \cos(t^{2})\cdot (-2t) \;+\; t^{4}\cdot 1.
Portanto o integrando é
3t^{2}\operatorname{sen}(t^{3}) \;-\; 2t\cos(t^{2}) \;+\; t^{4}.

Passo 6

Montar a integral no intervalo 0\le t\le 1:
\int_{C}F\cdot dr = \int_{0}^{1}\bigl(3t^{2}\operatorname{sen}(t^{3}) - 2t\cos(t^{2}) + t^{4}\bigr)\,dt.
Vamos integrar termo a termo, usando substituições apropriadas quando necessário.

Passo 7

Integral do primeiro termo: \displaystyle \int_{0}^{1} 3t^{2}\operatorname{sen}(t^{3})\,dt.
Fazer a substituição \displaystyle u=t^{3}. Então \displaystyle du=3t^{2}\,dt.
Assim
\int_{0}^{1} 3t^{2}\operatorname{sen}(t^{3})\,dt = \int_{u(0)}^{u(1)} \operatorname{sen}(u)\,du.
Como u(0)=0^{3}=0 e u(1)=1^{3}=1, temos
\int_{0}^{1} 3t^{2}\operatorname{sen}(t^{3})\,dt = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} = -\cos(1) + \cos(0).
E \cos(0)=1, logo esse termo vale -\cos(1)+1.

Passo 8

Integral do segundo termo: \displaystyle \int_{0}^{1} -2t\cos(t^{2})\,dt.
Fazer a substituição \displaystyle v=t^{2}. Então \displaystyle dv=2t\,dt.
Assim
\int_{0}^{1} -2t\cos(t^{2})\,dt = \int_{v(0)}^{v(1)} -\cos(v)\,dv.
Como v(0)=0 e v(1)=1, segue
\int_{0}^{1} -2t\cos(t^{2})\,dt = \bigl[-\sin(v)\bigr]_{0}^{1} = -\sin(1) + \sin(0).
E \sin(0)=0, então esse termo vale -\sin(1).

Passo 9

Integral do terceiro termo: \displaystyle \int_{0}^{1} t^{4}\,dt.
Aplicando a regra da potência:
\int t^{4}\,dt = \frac{t^{5}}{5},
portanto
\int_{0}^{1} t^{4}\,dt = \left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.

Passo 10

Somar os três resultados:
  • primeiro termo: -\cos(1)+1,
  • segundo termo: -\sin(1),
  • terceiro termo: \dfrac{1}{5}.
Somando:
-\cos(1)+1 \;-\; \sin(1) \;+\; \frac{1}{5} = \left(1+\frac{1}{5}\right) - \cos(1) - \sin(1) = \frac{6}{5} - \cos(1) - \sin(1).

Resposta

\displaystyle \frac{6}{5} - \cos(1) - \sin(1)

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