Calcule a integral de linha
, onde
é dada pela função vetorial
.
e
.
Passo 1
O problema pede para calcular a integral de linha
onde foram dadas as seguintes informações:
- O campo vetorial é
- A curva
é a parametrização , com .
Ou seja, precisamos calcular a integral de
ao longo da curva parametrizada por
no intervalo
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando bem): se uma curva
é parametrizada por
,
, então a integral de linha do campo
ao longo de
é
Aqui:
-
significa substituir em . -
é a derivada componente a componente de . - O produto
é o produto escalar: multiplicar cada componente correspondente e somar.
Passo 3
Calcular
derivando componente a componente:
Expliquei: derivada de
é
; de
é
; de
é
.
Passo 4
Substituir
em
para obter
.
Temos ,
,
. Então
Temos
Observação:
porque o cosseno é função par. Portanto
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Portanto o integrando é
Passo 6
Montar a integral no intervalo
:
Vamos integrar termo a termo, usando substituições apropriadas quando necessário.
Passo 7
Integral do primeiro termo:
.
Fazer a substituição . Então
.
Assim
Fazer a substituição
Assim
Como
e
, temos
E
, logo esse termo vale
.
Passo 8
Integral do segundo termo:
.
Fazer a substituição . Então
.
Assim
Fazer a substituição
Assim
Como
e
, segue
E
, então esse termo vale
.
Passo 9
Integral do terceiro termo:
.
Aplicando a regra da potência:
Aplicando a regra da potência:
portanto
Passo 10
Somar os três resultados:
- primeiro termo:
, - segundo termo:
, - terceiro termo:
.
Somando: