Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
Onde
é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo
.
Passo 1
Neste exercício queremos calcular a integral de linha
onde
é a fronteira da região
no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pelo círculo
, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
onde
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 4
A região
é o setor circular de raio
no primeiro quadrante. Em coordenadas polares:
Passo 5
O duplo integral fica
Calculando em etapas:
Portanto