Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
ointc x^2 cdot y cdot d x-y^2 cdot x cdot d y
Onde C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x^2+y^2=16.

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral de linha
ointCx^2y,dx ;-;y^2x,dy
onde C é a fronteira da região D no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pelo círculo x^2+y^2=16, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num duplo integral sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointCP,dx + Q,dy ;=;integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
onde P(x,y)=x^2y e Q(x,y)=-y^2x.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial(-x,y^2)partial x =-,y^2, partial Ppartial y =partial(x^2y)partial y =x^2
Logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-,y^2-x^2 =-l(x^2+y^2r)

Passo 4

A região D é o setor circular de raio 4 no primeiro quadrante. Em coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, rin[0,4],;thetainl[0,tfracpi2r], dA = r,dr,dtheta

Passo 5

O duplo integral fica
integral duplaD-l(x^2+y^2r),dA =-integral0^pi/2!integral0^4r^2,(r,dr),dtheta =-integral0^pi/2!integral0^4r^3,dr,dtheta
Calculando em etapas:
integral0^4r^3,dr = 4^44=64, integral0^pi/264,dtheta = 64cdotpi2=32pi
Portanto
ointCx^2y,dx - y^2x,dy = -,32pi

Resposta

-32pi

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