Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio conveniente para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^2-x y+y^2+9 x-6 y+10

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os pontos críticos de
f(x,y)=x^2-x y+y^2+9x-6y+10
e os classifique como máximos locais, mínimos locais ou sela.
Para isso, vamos usar o método do gradiente (para achar candidatos a extremos) e o teste do Hessiano (para classificar cada ponto crítico).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
partial fpartial x=2x-y+9, partial fpartial y=-x+2y-6
Igualamos ambas a zero e resolvemos o sistema
2x - y + 9 = 0, -,x + 2y - 6 = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema por exemplo eliminando y:
De 2x - y = -9 temos y=2x+9. Substituindo em -x+2y=6
-,x + 2(2x+9) = 6 Longrightarrow -,x +4x +18 = 6 Longrightarrow 3x = -12 Longrightarrow x = -4
Então y=2(-4)+9=1.
O único ponto crítico é (-4,1).

Passo 4

Para classificar esse ponto, analisamos o Hessiano constante
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & -1 -1 & 2
Os menores principais são
De<a1=2>0
e
De<a2=det(H)=2cdot2-(-1)^2=3>0.
Como ambos são positivos, H é definida positiva, logo (-4,1) é ponto de mínimo local (e global, pois f é quadrática e de “bowl” para cima).

Passo 5

Fazendo f(-4,1):
f(-4,1)=(-4)^2-(-4)cdot1+1^2+9cdot(-4)-6cdot1+10 =16+4+1-36-6+10=-11

Resposta

O único ponto crítico é (-4,1), que é mínimo local (e global) com valor f(-4,1)=-11.
Não há máximos locais nem pontos de sela.

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