Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio conveniente para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre os pontos críticos de
e os classifique como máximos locais, mínimos locais ou sela.
Para isso, vamos usar o método do gradiente (para achar candidatos a extremos) e o teste do Hessiano (para classificar cada ponto crítico).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente:
Igualamos ambas a zero e resolvemos o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema por exemplo eliminando y:
De 2x - y = -9 temos y=2x+9. Substituindo em -x+2y=6 dá
Então y=2(-4)+9=1.
O único ponto crítico é (-4,1).
Passo 4
Para classificar esse ponto, analisamos o Hessiano constante
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = 2 & -1 -1 & 2
Os menores principais são De<a1=2>0
e De<a2=det(H)=2cdot2-(-1)^2=3>0.
Como ambos são positivos, H é definida positiva, logo (-4,1) é ponto de mínimo local (e global, pois f é quadrática e de “bowl” para cima).