Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
integralC y d x-x d y, onde C é a circunferência de centro (0,0) e raio 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

A gente quer calcular ointC y,dx - x,dy, sendo C a circunferência de raio 1 centrada na origem, orientada anti-horário. O assunto é o Teorema de Green, e vamos precisar da região interna a C, que é o disco de raio 1.

Passo 2

O Teorema de Green diz que para P(x,y) e Q(x,y) suaves numa região que contém C e seu interior R, vale:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR gl(partial Qpartial x - partial Ppartial ygr) dA

Passo 3

Aqui temos P(x,y)=y e Q(x,y)=-x. Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial(-x)partial x = -1,
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Então o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 4

Agora fazemos a integral dupla sobre o disco de raio 1:
integral duplaR (-2),dA = -2 integral duplaR dA = -2 cdot l(área do disco de raio 1r) = -2piá

Resposta

-2\pi

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