Encontre máximos e mínimos condicionados:
encontre os pontos sobre a superfície
mais prossímios da origem.
encontre os pontos sobre a superfície
Passo 1
Estamos procurando os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem. Esse é um problema de otimização com restrição, cujo conteúdo é “multiplicadores de Lagrange”. Para facilitar, vamos minimizar o quadrado da distância ao invés da própria distância:
sujeito à restrição
Passo 2
Formamos a função de Lagrange
As condições de estacionaridade são
além de
Passo 3
Das três primeiras igualdades obtemos
Dividindo a primeira pela segunda, por exemplo, vemos que
e com argumentos análogos concluímos
Passo 4
Usando
na restrição
dá
Como
, temos
. Além disso, de
segue
, e de
segue
. Dessas relações obtemos
e
. Portanto, os sinais são independentes, restando quatro soluções:
Passo 5
Em cada ponto, o quadrado da distância é
logo a distância mínima é
. Não há ponto de máximo, pois a superfície
é não-compacta e se estende ao infinito.
Resposta
Os pontos mais próximos da origem são
com distância mínima
. Não existe ponto de máximo condicionado.