Encontre máximos e mínimos condicionados:
encontre os pontos sobre a superfície x y z=1 mais prossímios da origem.

Passo 1

Estamos procurando os pontos da superfície
xyz = 1
que estão mais próximos da origem. Esse é um problema de otimização com restrição, cujo conteúdo é “multiplicadores de Lagrange”. Para facilitar, vamos minimizar o quadrado da distância ao invés da própria distância:
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
sujeito à restrição
g(x,y,z) = xyz - 1 = 0

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda) = x^2 + y^2 + z^2 - lambda,(xyz - 1)
As condições de estacionaridade são
partial Lpartial x = 2x - lambda,yz = 0, partial Lpartial y = 2y - lambda,xz = 0, partial Lpartial z = 2z - lambda,xy = 0,
além de
xyz = 1

Passo 3

Das três primeiras igualdades obtemos
2x = lambda,yz, 2y = lambda,xz, 2z = lambda,xy
Dividindo a primeira pela segunda, por exemplo, vemos que
xy = yzxz implies x = y,
e com argumentos análogos concluímos
x = yz, y = zx, z = xy

Passo 4

Usando x=yz na restrição xyz=1
y,zcdot ycdot z = (yz)^2 = 1 implies yz = pm1
Como x=yz, temos x=pm1. Além disso, de y=zx segue y = xz, e de z=xy segue z=xy. Dessas relações obtemos z^2=1 e y = xz. Portanto, os sinais são independentes, restando quatro soluções:
(1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)

Passo 5

Em cada ponto, o quadrado da distância é
x^2 + y^2 + z^2 = 1 + 1 + 1 = 3,
logo a distância mínima é raiz3. Não há ponto de máximo, pois a superfície xyz=1 é não-compacta e se estende ao infinito.

Resposta

Os pontos mais próximos da origem são
(1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1),
com distância mínima raiz3. Não existe ponto de máximo condicionado.

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