Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
ointC(1-y^3) d x+(x^3+e^y) d y, C é o limite da região entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha ao longo de uma curva C que é o limite da região entre dois círculos: x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 . O Teorema de Green vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral que queremos calcular:
ointC (1 - y^3) dx + (x^3 + e^y) dy
Aqui, identificamos P = 1 - y^3 e Q = x^3 + e^y .

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Green, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C :
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y .

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + e^y ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( 1 - y^3 ) = -3y^2
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 3x^2 - (-3y^2) ) dx dy = integral duplaD ( 3x^2 + 3y^2 ) dx dy

Passo 5

Observando a expressão 3x^2 + 3y^2 , podemos fatorar o 3:
3(x^2 + y^2)
Como a região D está entre os círculos x^2 + y^2=4 e x^2 + y^2=9 , é conveniente mudar para coordenadas polares, onde x^2 + y^2 = r^2 .

Passo 6

Em coordenadas polares, a integral dupla fica:
3 integral duplaD r^2 , r dr dtheta = 3 integral0^2pi integral2^3 r^3 dr dtheta
Aqui, r varia de 2 a 3 (raios dos círculos) e theta de 0 a 2pi (ângulo completo).

Passo 7

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral2^3 r^3 dr = [ r^44 ]2^3 = 3^44 - 2^44 = 814 - 164 = 654

Passo 8

Agora, integramos em relação a theta :
3 times 654 integral0^2pi dtheta = 1954 times 2pi = 1952 pi

Resposta

A integral de linha vale 1952 pi .

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