Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o limite da região entre os círculos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha ao longo de uma curva
que é o limite da região entre dois círculos:
e
. O Teorema de Green vai transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral que queremos calcular:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Green, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Observando a expressão
, podemos fatorar o 3:
Como a região
está entre os círculos
e
, é conveniente mudar para coordenadas polares, onde
.
Passo 6
Em coordenadas polares, a integral dupla fica:
Aqui,
varia de 2 a 3 (raios dos círculos) e
de 0 a
(ângulo completo).
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de linha vale
.