Determine uma região do plano
na qual a equação diferencial dada tenha uma única curva integral que passa por um ponto
garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade dessa região.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que podemos reescrever na forma padrão
Pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindel"of, basta encontrar uma regi~ao do plano contendo
em que
e
sejam cont’inuas.
Passo 2
Primeiro observamos que
fica mal definida se
, ou seja, no ponto
. Fora daí:
Calculamos também
que de novo só falha de ser contínua em
.
Passo 3
Como
, basta escolher uma vizinhan\c{c}a de
que n~ao contenha a origem. Por exemplo, tome
com
Nesse disco fechado em torno de
temos
, logo
e
s~ao cont’inuas em
. Pelo Teorema de Picard– Lindel"of existe e 'e \u{u}nica a curva integral passando por
.
Resposta
Por exemplo, a região
é um domínio onde
e
são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por
.