Determine uma região do plano x y na qual a equação diferencial dada tenha uma única curva integral que passa por um ponto (x0, y0) garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade dessa região.
(x^2+y^2) y^prime=y^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^2+y^2),y' ;=; y^2,
que podemos reescrever na forma padrão
y' ;=; f(x,y) com f(x,y)=y^2x^2+y^2
Pelo Teorema de Existência e Unicidade de Picard– Lindel"of, basta encontrar uma regi~ao do plano contendo (x0,y0) em que f e partial f/partial y sejam cont’inuas.

Passo 2

Primeiro observamos que f(x,y) fica mal definida se x^2+y^2=0, ou seja, no ponto (0,0). Fora daí:
f(x,y)=y^2x^2+y^2 é contínua sempre que x^2+y^2neq0 éí
Calculamos também
partial fpartial y =2y,(x^2+y^2)-y^2cdot2y(x^2+y^2)^2 =2x^2y(x^2+y^2)^2,
que de novo só falha de ser contínua em (0,0).

Passo 3

Como (x0,y0)neq(0,0), basta escolher uma vizinhan\c{c}a de (x0,y0) que n~ao contenha a origem. Por exemplo, tome
U=l(x,y)inR^2:,(x-x0)^2+(y-y0)^2<r^2r,
com
r<raizx0^2+y0^2
Nesse disco fechado em torno de (x0,y0) temos x^2+y^2>0, logo f e partial f/partial y s~ao cont’inuas em U. Pelo Teorema de Picard– Lindel"of existe e 'e \u{u}nica a curva integral passando por (x0,y0).

Resposta

Por exemplo, a região
l(x,y):,(x-x0)^2+(y-y0)^2<r^2r, r<raizx0^2+y0^2,
é um domínio onde f e partial f/partial y são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução que passa por (x0,y0).

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