Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x y d x+y^5 d y, C é o triângulo com vértices (0,0),(2,0) e (2,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y,dx + y^5,dy
sobre a curva C que é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,1), com orientação positiva (anti-horária). Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região D interna ao triângulo.

Passo 2

No Teorema de Green, se escrevemos
P(x,y)=x,y, Q(x,y)=y^5,
então
ointCP,dx+Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas:
partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=x,
logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =0 - x = -,x

Passo 3

Precisamos descrever D, o triângulo. A base vai de x=0 até x=2 e, para cada x, y varia de 0 até a reta que liga (0,0) a (2,1), cuja equação é
y=tfrac12x
Portanto
D=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=tfrac12x

Passo 4

Substituindo em Green, a integral fica
integral duplaD(-x),dA = - integralx=0^2!integraly=0^x/2 x,dy,dx
Primeiro integramos em y:
integraly=0^x/2x,dy = xcdotx2 = x^22
Então
- integral0^2x^22,dx = -12integral0^2x^2,dx = -12cdotx^33|0^2 = -12cdot83 = -43

Resposta

-tfrac43

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