Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o triângulo com vértices
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a curva
que é o triângulo com vértices
,
e
, com orientação positiva (anti-horária). Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre a região
interna ao triângulo.
Passo 2
No Teorema de Green, se escrevemos
então
Calculamos as derivadas:
logo o integrando é
Passo 3
Precisamos descrever
, o triângulo. A base vai de
até
e, para cada
,
varia de
até a reta que liga
a
, cuja equação é
Portanto
Passo 4
Substituindo em Green, a integral fica
Primeiro integramos em
:
Então