Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva:
\oint_{C} e^{x} d x+2 x e^{y} d y
onde C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C} e^{x}\,dx + 2x e^{y}\,dy
ao longo da curva C que é o quadrado com lados x=0, x=1, y=0 e y=1, com orientação positiva. Informações dadas:
  • A curva C é o contorno do quadrado fechado e limitado pelo retângulo [0,1]\times[0,1].
  • A orientação é a orientação positiva (ou seja, no sentido anti-horário ao redor da região).
  • A forma diferencial ao longo de C tem componentes P(x,y)=e^{x} e Q(x,y)=2x e^{y}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha?

Passo 2

Escolhendo o método: como temos uma integral de linha de uma forma P\,dx+Q\,dy ao longo de uma curva fechada que é o contorno de uma região simples (o quadrado), é apropriado transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interior usando um resultado que relaciona esses dois tipos de integrais. Vou usar esse resultado porque ele simplifica muito a conta: em vez de parametrizar cada lado do quadrado e somar quatro integrais, fazemos uma única integral dupla sobre a região.

Passo 3

Enunciado do teorema que vamos usar (explicado de maneira direta):
Se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas numa região que contém a região D e seu contorno C, então
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,
onde D é a região interior a C e a orientação de C é positiva (anti-horária). Aqui dA é o elemento de área (por exemplo dx\,dy). Isso transforma a integral de linha em uma integral dupla do campo rotacional escalar \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 4

Verificação das hipóteses e cálculo das derivadas parciais:
  • As funções P(x,y)=e^{x} e Q(x,y)=2x e^{y} têm derivadas parciais contínuas em toda a reta, então as hipóteses estão satisfeitas.
  • Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x e^{y}\big)=2 e^{y},
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\big)=0.
Portanto o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2 e^{y}-0=2 e^{y}.

Passo 5

Montando a integral dupla sobre a região D=[0,1]\times[0,1]:
Pelo teorema,
\oint_{C} e^{x}\,dx + 2x e^{y}\,dy = \iint_{D} 2 e^{y}\,dA.
Escolhendo a ordem de integração dA=dx\,dy (primeiro x de 0 a 1, depois y de 0 a 1), temos
\iint_{D} 2 e^{y}\,dA = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} 2 e^{y}\,dx\,dy.

Passo 6

Calcule a integral dupla passo a passo:
  • A integral interna em x é simples porque 2 e^{y} não depende de x:
\int_{x=0}^{1} 2 e^{y}\,dx = 2 e^{y}\int_{x=0}^{1} dx = 2 e^{y}\cdot(1-0)=2 e^{y}.
  • Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{1} 2 e^{y}\,dy = 2\int_{0}^{1} e^{y}\,dy = 2\big[e^{y}\big]_{0}^{1} = 2\big(e^{1}-e^{0}\big)=2\big(e-1\big).

Resposta

2\big(e-1\big)

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