Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva:
onde
é o quadrado de lados
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
que é o quadrado com lados
,
,
e
, com orientação positiva. Informações dadas:
- A curva
é o contorno do quadrado fechado e limitado pelo retângulo . - A orientação é a orientação positiva (ou seja, no sentido anti-horário ao redor da região).
- A forma diferencial ao longo de
tem componentes e .
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral de linha?
Passo 2
Escolhendo o método: como temos uma integral de linha de uma forma
ao longo de uma curva fechada que é o contorno de uma região simples (o quadrado), é apropriado transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interior usando um resultado que relaciona esses dois tipos de integrais. Vou usar esse resultado porque ele simplifica muito a conta: em vez de parametrizar cada lado do quadrado e somar quatro integrais, fazemos uma única integral dupla sobre a região.
Passo 3
Enunciado do teorema que vamos usar (explicado de maneira direta):
Se e
têm derivadas parciais contínuas numa região que contém a região
e seu contorno
, então
Se
onde
é a região interior a
e a orientação de
é positiva (anti-horária). Aqui
é o elemento de área (por exemplo
). Isso transforma a integral de linha em uma integral dupla do campo rotacional escalar
.
Passo 4
Verificação das hipóteses e cálculo das derivadas parciais:
- As funções
e têm derivadas parciais contínuas em toda a reta, então as hipóteses estão satisfeitas. - Calculemos as derivadas parciais necessárias:
Portanto o integrando da integral dupla é
Passo 5
Montando a integral dupla sobre a região
:
Pelo teorema,
Pelo teorema,
Escolhendo a ordem de integração
(primeiro
de
a
, depois
de
a
), temos
Passo 6
Calcule a integral dupla passo a passo:
- A integral interna em
é simples porque não depende de :
- Agora integramos em
: