Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva:
onde
é o triângulo com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral de linha
onde
é o triângulo com vértices
,
e
, com orientação positiva. Informações relevantes dadas:
- A curva
é a fronteira do triângulo cujos vértices são , e . - A orientação positiva significa que
é percorrido no sentido anti-horário (sentido que deixa a região à esquerda). - As funções dentro da integral de linha são
multiplicando e multiplicando .
A pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral de linha dada ao longo de.
Passo 2
Agora começamos a resolução usando o resultado que conecta integrais de linha a integrais duplas (a ideia exigida pelo enunciado). Primeiro, escrevo a fórmula que vou usar (aqui explico bem o que cada parte significa).
A fórmula (Teorema que relaciona a integral de linha de um campo no plano com uma integral dupla sobre a região interior) é
onde:
-
e são as componentes da forma diferencial na integral de linha (no nosso caso e ); -
é a região do plano limitada por (ou seja, o interior do triângulo dado); -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante) e é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante); -
é o elemento de área (em coordenadas cartesianas é ou ).
Explicando as derivadas parciais de forma simples: paradiferencio em relação a , mantendo fixo; para diferencial em relação a , mantendo fixo. Isso mede a “variação” horizontal de e a “variação” vertical de , e a diferença aparece no integrando da integral dupla.
Passo 3
Calculo das derivadas parciais que entram no integrando.
Temos
. Derivando em relação a
:
Temos
. Derivando em relação a
:
Portanto o integrando da integral dupla fica
Passo 4
Descrever a região
(o interior do triângulo) de forma conveniente para integrar.
Os vértices do triângulo são
,
e
. As arestas são:
- aresta vertical entre
e : é a reta ; - aresta que liga
a : passa pela origem com coeficiente angular , logo sua equação é ; - aresta horizontal entre
e : é a reta .
Visualmente, para cada
entre
e
(porque o ponto com maior
é
),
varia desde a reta inclinada
até a reta
. Assim uma descrição conveniente é
Passo 5
Aplicando a fórmula e montando a integral dupla sobre
.
Pelo passo 2 e 3,
Usando a descrição de
do passo anterior (integrando primeiro em
, depois em
):
Passo 6
Calculo da integral interna em
. Primeiro encontro uma primitiva em
do integrando
.
Antiderivadas em
:
Logo uma primitiva conjunta é
Agora avalio entre
e
:
Calculo cada termo separadamente:
Substituindo:
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em
:
Passo 7
Calculo da integral em
termo a termo.
Antiderivadas:
Somando as antiderivadas obtemos
Agora avalio de
a
:
Simplifico:
então
Passo 8
Interpretação final: chegamos ao valor numérico da integral de linha pedida. Fizemos uso da relação entre integral de linha e integral dupla, calculamos as derivadas parciais, descrevemos a região triangular convenientemente e avaliamos a integral passo a passo. Resultado final obtido é
.