Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva:
\oint_{C} x^{2} y^{2} d x+4 x y^{2} d y
onde C é o triângulo com vértices (0,0),(1,3) e (0,3).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral de linha
\oint_{C} x^{2} y^{2}\,dx + 4 x y^{2}\,dy,
onde C é o triângulo com vértices (0,0), (1,3) e (0,3), com orientação positiva. Informações relevantes dadas:
  • A curva C é a fronteira do triângulo cujos vértices são (0,0), (1,3) e (0,3).
  • A orientação positiva significa que C é percorrido no sentido anti-horário (sentido que deixa a região à esquerda).
  • As funções dentro da integral de linha são P(x,y)=x^{2}y^{2} multiplicando dx e Q(x,y)=4xy^{2} multiplicando dy.
    A pergunta explícita: calcular o valor numérico da integral de linha dada ao longo de C.

Passo 2

Agora começamos a resolução usando o resultado que conecta integrais de linha a integrais duplas (a ideia exigida pelo enunciado). Primeiro, escrevo a fórmula que vou usar (aqui explico bem o que cada parte significa).
A fórmula (Teorema que relaciona a integral de linha de um campo no plano com uma integral dupla sobre a região interior) é
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes da forma diferencial na integral de linha (no nosso caso P(x,y)=x^{2}y^{2} e Q(x,y)=4xy^{2});
  • D é a região do plano limitada por C (ou seja, o interior do triângulo dado);
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y (tratando x como constante);
  • dA é o elemento de área (em coordenadas cartesianas é dA=dx\,dy ou dy\,dx).
    Explicando as derivadas parciais de forma simples: para \frac{\partial Q}{\partial x} diferencio Q(x,y) em relação a x, mantendo y fixo; para \frac{\partial P}{\partial y} diferencial P(x,y) em relação a y, mantendo x fixo. Isso mede a “variação” horizontal de Q e a “variação” vertical de P, e a diferença aparece no integrando da integral dupla.

Passo 3

Calculo das derivadas parciais que entram no integrando.
Temos P(x,y)=x^{2}y^{2}. Derivando em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}\big) = x^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = x^{2}\cdot 2y = 2x^{2}y.
Temos Q(x,y)=4xy^{2}. Derivando em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(4x y^{2}\big) = 4 y^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x) = 4y^{2}.
Portanto o integrando da integral dupla fica
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 4y^{2} - 2x^{2}y.

Passo 4

Descrever a região D (o interior do triângulo) de forma conveniente para integrar.
Os vértices do triângulo são (0,0), (1,3) e (0,3). As arestas são:
  • aresta vertical entre (0,0) e (0,3): é a reta x=0;
  • aresta que liga (0,0) a (1,3): passa pela origem com coeficiente angular 3, logo sua equação é y=3x;
  • aresta horizontal entre (0,3) e (1,3): é a reta y=3.
Visualmente, para cada x entre 0 e 1 (porque o ponto com maior x é (1,3)), y varia desde a reta inclinada y=3x até a reta y=3. Assim uma descrição conveniente é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 3x\le y\le 3\}.

Passo 5

Aplicando a fórmula e montando a integral dupla sobre D.
Pelo passo 2 e 3,
\oint_{C} x^{2}y^{2}\,dx + 4xy^{2}\,dy = \iint_{D} \big(4y^{2} - 2x^{2}y\big)\,dA.
Usando a descrição de D do passo anterior (integrando primeiro em y, depois em x):
\iint_{D} \big(4y^{2} - 2x^{2}y\big)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=3x}^{3} \big(4y^{2} - 2x^{2}y\big)\,dy\right)dx.

Passo 6

Calculo da integral interna em y. Primeiro encontro uma primitiva em y do integrando \big(4y^{2} - 2x^{2}y\big).
Antiderivadas em y:
\int 4y^{2}\,dy = 4\cdot \frac{y^{3}}{3} = \frac{4}{3}y^{3},
\int 2x^{2}y\,dy = 2x^{2}\cdot \frac{y^{2}}{2} = x^{2}y^{2}.
Logo uma primitiva conjunta é
\frac{4}{3}y^{3} - x^{2}y^{2}.
Agora avalio entre y=3x e y=3:
\left[\frac{4}{3}y^{3} - x^{2}y^{2}\right]_{y=3x}^{y=3} = \Big(\frac{4}{3}\cdot 3^{3} - x^{2}\cdot 3^{2}\Big) - \Big(\frac{4}{3}\cdot (3x)^{3} - x^{2}\cdot (3x)^{2}\Big).
Calculo cada termo separadamente:
\frac{4}{3}\cdot 3^{3} = \frac{4}{3}\cdot 27 = 36,
x^{2}\cdot 3^{2} = 9x^{2},
\frac{4}{3}\cdot (3x)^{3} = \frac{4}{3}\cdot 27x^{3} = 36x^{3},
x^{2}\cdot (3x)^{2} = x^{2}\cdot 9x^{2} = 9x^{4}.
Substituindo:
\left[\cdots\right] = (36 - 9x^{2}) - (36x^{3} - 9x^{4}) = 36 - 9x^{2} - 36x^{3} + 9x^{4}.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em x:
\int_{0}^{1} \big(36 - 9x^{2} - 36x^{3} + 9x^{4}\big)\,dx.

Passo 7

Calculo da integral em x termo a termo.
Antiderivadas:
\int 36\,dx = 36x,
\int -9x^{2}\,dx = -9\cdot \frac{x^{3}}{3} = -3x^{3},
\int -36x^{3}\,dx = -36\cdot \frac{x^{4}}{4} = -9x^{4},
\int 9x^{4}\,dx = 9\cdot \frac{x^{5}}{5} = \frac{9}{5}x^{5}.
Somando as antiderivadas obtemos
36x - 3x^{3} - 9x^{4} + \frac{9}{5}x^{5}.
Agora avalio de x=0 a x=1:
\Big[36x - 3x^{3} - 9x^{4} + \frac{9}{5}x^{5}\Big]_{0}^{1} = 36 - 3 - 9 + \frac{9}{5}.
Simplifico:
36 - 3 - 9 = 24,
então
24 + \frac{9}{5} = \frac{120}{5} + \frac{9}{5} = \frac{129}{5}.

Passo 8

Interpretação final: chegamos ao valor numérico da integral de linha pedida. Fizemos uso da relação entre integral de linha e integral dupla, calculamos as derivadas parciais, descrevemos a região triangular convenientemente e avaliamos a integral passo a passo. Resultado final obtido é \dfrac{129}{5}.

Resposta

\dfrac{129}{5}

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