Calcule \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde C é dada por \mathbf{r}(t).
\mathbf{F}(x, y)=-x y^{2} \mathbf{i}+x^{2} y \mathbf{j}, \quad C: \mathbf{r}(t)=\left\langle 1+\sin ^{2}(\pi t), 1+\cos ^{2}(\pi t)\right\rangle, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde a campo e a curva são dadas por
\mathbf{F}(x,y) = -x y^{2}\,\mathbf{i} + x^{2} y\,\mathbf{j}
e
C:\\ \mathbf{r}(t)=\langle 1+\sin^{2}(\pi t),\;1+\cos^{2}(\pi t)\rangle,\qquad 0\le t\le 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parametrização de C fornece x(t)=1+\sin^{2}(\pi t) e y(t)=1+\cos^{2}(\pi t).
  • O intervalo de integração é t\in[0,1].
  • A integral de linha a calcular é \displaystyle\int_{0}^{1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Lembrete prático (passo-a-passo do que vamos aplicar): a definição de integral de linha para um campo vetorial em termos da parametrização é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente da parametrização (velocidade) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nas coordenadas x(t),y(t). Vou calcular \mathbf{r}'(t), depois \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), formar o produto escalar e integrar.

Passo 3

Calculo de \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente (usando regra da cadeia):
x(t)=1+\sin^{2}(\pi t)\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2\sin(\pi t)\cos(\pi t)\cdot \pi = \pi\sin(2\pi t).
y(t)=1+\cos^{2}(\pi t)\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2\cos(\pi t)\bigl(-\sin(\pi t)\bigr)\cdot \pi = -\pi\sin(2\pi t).
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\langle \pi\sin(2\pi t),\; -\pi\sin(2\pi t)\rangle.

Passo 4

Avalio o campo ao longo da curva: substituo x=x(t) e y=y(t) em \mathbf{F}.
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl\langle -x(t)\,y(t)^{2},\; x(t)^{2}y(t)\bigr\rangle.
Uma observação rápida e útil: pela identidade trigonométrica \sin^{2}(\pi t)+\cos^{2}(\pi t)=1 temos
x(t)+y(t)=\bigl(1+\sin^{2}(\pi t)\bigr)+\bigl(1+\cos^{2}(\pi t)\bigr)=3,
ou seja, ao longo de C vale x+y=3 (constante). Também podemos escrever o produto
x(t)y(t) = \bigl(1+\sin^{2}(\pi t)\bigr)\bigl(1+\cos^{2}(\pi t)\bigr) =2+\sin^{2}(\pi t)\cos^{2}(\pi t).
Usando \sin^{2}(\pi t)\cos^{2}(\pi t)=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\pi t) obtemos
x(t)y(t)=2+\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\pi t).

Passo 5

Formo o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). Substituindo as componentes:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = \bigl(-x y^{2}\bigr)\bigl(x'\bigr) + \bigl(x^{2}y\bigr)\bigl(y'\bigr).
Como y'=-x' (vimos isso no Passo 3), reorganizo:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = x'\bigl(-x y^{2}\bigr) + (-x')\bigl(x^{2}y\bigr) = -x' \bigl(x y^{2}+ x^{2}y\bigr) = -x' \, x y (y+x).
Mas x+y=3, logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) = -3\, x(t)\,y(t)\,x'(t).
Substituindo x'(t)=\pi\sin(2\pi t) e x(t)y(t)=2+\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\pi t),
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = -3\pi\sin(2\pi t)\Bigl(2+\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2\pi t)\Bigr) = -6\pi\sin(2\pi t)\;-\;\tfrac{3\pi}{4}\sin^{3}(2\pi t).

Passo 6

Agora integro no intervalo 0\le t\le1:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\bigl(-6\pi\sin(2\pi t)-\tfrac{3\pi}{4}\sin^{3}(2\pi t)\bigr)\,dt.
Ambos os termos são integrais de funções ímpares da variável u=2\pi t ao longo de um período completo. Formalmente, fazendo a mudança u=2\pi t (então du=2\pi dt e t\in[0,1]\Rightarrow u\in[0,2\pi]):
\int_{0}^{1}\sin(2\pi t)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin u\,du=0,
\int_{0}^{1}\sin^{3}(2\pi t)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sin^{3}u\,du=0,
porque \sin u e \sin^{3}u têm média zero em um período. Portanto a integral total é zero.
Observação alternativa (intuitiva): a parametrização vai de (1,2) a (2,1) para t de 0 a 1/2 e retorna de (2,1) a (1,2) para t de 1/2 a 1, ou seja, o caminho percorre um segmento no sentido direto e depois o mesmo segmento no sentido oposto, fazendo com que a contribuição se cancele. Isso confirma o resultado nulo.

Passo 7

Conclusão: a integral de linha pedida vale zero.

Resposta

0

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