Calcule
, onde
é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde a campo e a curva são dadas por
e
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A parametrização de
fornece e . - O intervalo de integração é
. - A integral de linha a calcular é
.
Passo 2
Lembrete prático (passo-a-passo do que vamos aplicar): a definição de integral de linha para um campo vetorial em termos da parametrização é
Aqui
é a derivada componente a componente da parametrização (velocidade) e
é o campo avaliado nas coordenadas
. Vou calcular
, depois
, formar o produto escalar e integrar.
Passo 3
Calculo de
. Derivando componente a componente (usando regra da cadeia):
Portanto
Passo 4
Avalio o campo ao longo da curva: substituo
e
em
.
Uma observação rápida e útil: pela identidade trigonométrica
temos
ou seja, ao longo de
vale
(constante). Também podemos escrever o produto
Usando
obtemos
Passo 5
Formo o produto escalar
. Substituindo as componentes:
Como
(vimos isso no Passo 3), reorganizo:
Mas
, logo
Substituindo
e
,
Passo 6
Agora integro no intervalo
:
Ambos os termos são integrais de funções ímpares da variável
ao longo de um período completo. Formalmente, fazendo a mudança
(então
e
):
porque
e
têm média zero em um período. Portanto a integral total é zero.
Observação alternativa (intuitiva): a parametrização vai de
a
para
de
a
e retorna de
a
para
de
a
, ou seja, o caminho percorre um segmento no sentido direto e depois o mesmo segmento no sentido oposto, fazendo com que a contribuição se cancele. Isso confirma o resultado nulo.
Passo 7
Conclusão: a integral de linha pedida vale zero.