Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
no conjunto
(inteiros) definida por
A pergunta é: verificar se essa relação é uma relação de equivalência sobre
. Se for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (as classes e a partição de
).
Informações dadas:
Passo 2
Definição e teste de reflexividade.
Definição: uma relação
em
é reflexiva se, para todo
, tivermos
. Em forma matemática:
Aplicando ao nosso caso:
significa, pela definição, que
Isso dá
Conclusão: apenas o elemento
satisfaz
; para todo outro inteiro
não temos
. Portanto a relação
NÃO é reflexiva (porque a reflexividade exige que isso valha para todo
).
Exemplo concreto para convencer: tome
. Temos
, logo
.
Passo 3
Definição e teste de simetria.
Definição:
é simétrica se, para todo
,
No nosso caso, se
então
. Mas
é a mesma igualdade (adição é comutativa em
), logo
. Portanto
é simétrica. (Isto vale para todo par
que satisfaz
.)
Passo 4
Definição e teste de transitividade.
Definição:
é transitiva se, para todo
,
No nosso caso, suponha
e
. Isso significa
Subtraindo as duas igualdades obtemos
Portanto, a partir das hipóteses deduzimos
. Então
. Para que
seja verdadeiro precisamos de
, ou seja
e então
. Logo a transitividade só seria satisfeita quando
; em geral não vale.
Contraexemplo explícito (para mostrar que não é transitiva): escolha
,
,
. Temos
e
porém
então
. Isso mostra que a relação NÃO é transitiva.
Passo 5
Conclusão sobre equivalência e comentário sobre partição.
Uma relação de equivalência precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva simultaneamente. Aqui verificamos:
- Não é reflexiva (só
satisfaz ). - É simétrica.
- Não é transitiva (contraexemplo dado).
Portanto
NÃO é uma relação de equivalência em
. Como não é uma relação de equivalência, não existe (no sentido usual de relação de equivalência) o conjunto quociente
nem as classes de equivalência associadas.
Observação adicional (útil para entender a “forma” da relação): os pares relacionados são exatamente os pares ordenados
. Isso organiza os inteiros em “pares”
(com a exceção de
, que é singleton porque
). Esses subconjuntos cobrem
e são disjuntos entre si, mas atenção: isso NÃO é a partição de classes de equivalência induzida por
, porque falta reflexividade e transitividade que fariam desses blocos verdadeiras classes de equivalência.
Resposta
A relação
não é de equivalência sobre
.
Não existe conjunto quociente associado (não há classes de equivalência), porque a relação não é reflexiva nem transitiva.
Não existe conjunto quociente associado (não há classes de equivalência), porque a relação não é reflexiva nem transitiva.