Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{6} y \Leftrightarrow x+y=8 \mathrm{em} \quad A=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a relação \mathcal{R}_{6} no conjunto A=\mathbb{Z} (inteiros) definida por
x\mathcal{R}_{6}y \Longleftrightarrow x+y=8.
A pergunta é: verificar se essa relação é uma relação de equivalência sobre A. Se for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (as classes e a partição de \mathbb{Z}).
Informações dadas:
A=\mathbb{Z},\qquad x\mathcal{R}_{6}y \iff x+y=8.

Passo 2

Definição e teste de reflexividade.
Definição: uma relação \mathcal{R} em A é reflexiva se, para todo x\in A, tivermos x\mathcal{R}x. Em forma matemática:
\text{\(\mathcal{R}\) é reflexiva} \iff (\forall x\in A)\; x\mathcal{R}x.é
Aplicando ao nosso caso: x\mathcal{R}_{6}x significa, pela definição, que
x+x=8.
Isso dá
2x=8 \Longrightarrow x=4.
Conclusão: apenas o elemento x=4 satisfaz x\mathcal{R}_{6}x; para todo outro inteiro x não temos x\mathcal{R}_{6}x. Portanto a relação \mathcal{R}_{6} NÃO é reflexiva (porque a reflexividade exige que isso valha para todo x\in\mathbb{Z}).
Exemplo concreto para convencer: tome x=0. Temos 0+0=0\neq8, logo 0\not\mathcal{R}_6 0.

Passo 3

Definição e teste de simetria.
Definição: \mathcal{R} é simétrica se, para todo x,y\in A,
x\mathcal{R}y \Longrightarrow y\mathcal{R}x.
No nosso caso, se x\mathcal{R}_{6}y então x+y=8. Mas y+x=8 é a mesma igualdade (adição é comutativa em \mathbb{Z}), logo y\mathcal{R}_{6}x. Portanto \mathcal{R}_{6} é simétrica. (Isto vale para todo par (x,y) que satisfaz x+y=8.)

Passo 4

Definição e teste de transitividade.
Definição: \mathcal{R} é transitiva se, para todo x,y,z\in A,
(x\mathcal{R}y \;\text{ e }\; y\mathcal{R}z)\Longrightarrow x\mathcal{R}z.
No nosso caso, suponha x\mathcal{R}_{6}y e y\mathcal{R}_{6}z. Isso significa
x+y=8 \quad\text{e}\quad y+z=8.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
(x+y)-(y+z)=0 \Longrightarrow x-z=0 \Longrightarrow x=z.
Portanto, a partir das hipóteses deduzimos x=z. Então x+z= x+x = 2x. Para que x\mathcal{R}_{6}z seja verdadeiro precisamos de x+z=8, ou seja 2x=8 e então x=4. Logo a transitividade só seria satisfeita quando x=z=4; em geral não vale.
Contraexemplo explícito (para mostrar que não é transitiva): escolha x=2, y=6, z=2. Temos
2\mathcal{R}_{6}6\quad(\text{pois }2+6=8)
e
6\mathcal{R}_{6}2\quad(\text{pois }6+2=8),
porém
2\mathcal{R}_{6}2 \text{ ? } \quad 2+2=4\neq8,
então 2\not\mathcal{R}_{6}2. Isso mostra que a relação NÃO é transitiva.

Passo 5

Conclusão sobre equivalência e comentário sobre partição.
Uma relação de equivalência precisa ser reflexiva, simétrica e transitiva simultaneamente. Aqui verificamos:
  • Não é reflexiva (só 4 satisfaz x+x=8).
  • É simétrica.
  • Não é transitiva (contraexemplo dado).
Portanto \mathcal{R}_{6} NÃO é uma relação de equivalência em \mathbb{Z}. Como não é uma relação de equivalência, não existe (no sentido usual de relação de equivalência) o conjunto quociente \mathbb{Z}/\mathcal{R}_{6} nem as classes de equivalência associadas.
Observação adicional (útil para entender a “forma” da relação): os pares relacionados são exatamente os pares ordenados (x,8-x). Isso organiza os inteiros em “pares” \{x,8-x\} (com a exceção de \{4\}, que é singleton porque 4+4=8). Esses subconjuntos cobrem \mathbb{Z} e são disjuntos entre si, mas atenção: isso NÃO é a partição de classes de equivalência induzida por \mathcal{R}_{6}, porque falta reflexividade e transitividade que fariam desses blocos verdadeiras classes de equivalência.

Resposta

A relação \mathcal{R}_{6} não é de equivalência sobre \mathbb{Z}.
Não existe conjunto quociente associado (não há classes de equivalência), porque a relação não é reflexiva nem transitiva.

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