Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
ointC(x^2-y^3) d x+(x^3+y^2) d y
onde C é a curva fechada formada pela circunferência x^2+y^2=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC(x^2-y^3),dx+(x^3+y^2),dy ao longo de C, que é a circunferência x^2+y^2=1, usaremos o Teorema de Green. Precisamos identificar P(x,y)=x^2-y^3, Q(x,y)=x^3+y^2 e o domínio D que é o disco unitário centrado na origem.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos que
ointCP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=3x^2,partial Ppartial y=-3y^2,

Passo 4

logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y=3x^2+3y^2=3(x^2+y^2)

Passo 5

Para avaliar
integral duplaD3(x^2+y^2),dA,
passamos para coordenadas polares: x=rcostheta,;y=rsintheta,;x^2+y^2=r^2,;dA=r,dr,dtheta. A integral vira
integral0^2pi!integral0^13r^2cdot r,dr,dtheta=integral0^2pi!integral0^13r^3,dr,dtheta

Passo 6

Basta calcular a integral em r e depois em theta:
integral0^13r^3,dr=34,integral0^2pidtheta=2pi,
portanto o resultado é 2pitimestfrac34=tfrac3pi2.

Resposta

3pi2

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