Verifique se o campo vetorial F(x, y)=(e^x+2 y, 2 x+cos y) é conservativo. Se for, determine uma função potencial f(x, y) e calcule
integralC F cdot d r
onde C é o segmento de reta que vai de (0,0) a (1,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=(e^x+2y,,2x+cos y) é conservativo, encontrar uma função potencial f(x,y) caso seja, e então calcular a integral de linha integralCFcdot dr ao longo do segmento de reta de (0,0) a (1,2). Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em uma região simplesmente conexa (no caso, R^2).

Passo 2

Para checar se F é conservativo, comparamos as derivadas cruzadas: calculemos
partialpartial y(e^x+2y)=2
e
partialpartial x(2x+cos y)=2
Como ambas são iguais a 2, o campo é conservativo em R^2.

Passo 3

Para achar a potencial f(x,y), integramos P(x,y)=e^x+2y em relação a x:
f(x,y)=integral (e^x+2y),dx = e^x+2xy + g(y),
sendo g uma função de y ainda desconhecida. Em seguida, impomos
partial fpartial y=2x+g'(y)
e queremos que isso seja igual a Q(x,y)=2x+cos y. Logo
g'(y)=cos y Longrightarrow g(y)=sin y + C
Portanto uma potencial é
f(x,y)=e^x+2xy+sin y + C

Passo 4

Para calcular a integral de linha ao longo de qualquer curva de (0,0) a (1,2), basta usar o teorema fundamental para campos conservativos:
integralCFcdot dr=f(1,2)-f(0,0)
Substituindo
f(1,2)=e^1+2cdot1cdot2+sin2=e+4+sin2,
f(0,0)=e^0+2cdot0cdot0+sin0=1+0+0=1
Logo
integralCFcdot dr=(e+4+sin2)-1=e+3+sin2

Resposta

Uma função potencial é f(x,y)=e^x+2xy+sin y + C e a integral de linha vale e+3+sin2.

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