Verifique se o campo vetorial
é conservativo. Se for, determine uma função potencial
e calcule
onde
é o segmento de reta que vai de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo, encontrar uma função potencial
caso seja, e então calcular a integral de linha
ao longo do segmento de reta de
a
. Vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em uma região simplesmente conexa (no caso,
).
Passo 2
Para checar se
é conservativo, comparamos as derivadas cruzadas: calculemos
e
Como ambas são iguais a
, o campo é conservativo em
.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
sendo
uma função de
ainda desconhecida. Em seguida, impomos
e queremos que isso seja igual a
. Logo
Portanto uma potencial é
Passo 4
Para calcular a integral de linha ao longo de qualquer curva de
a
, basta usar o teorema fundamental para campos conservativos:
Substituindo
Logo
Resposta
Uma função potencial é
e a integral de linha vale
.