Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é dado por
e
é o triângulo com vértices
,
e
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O problema nos dá um campo vetorial
e uma curva
que é um triângulo com vértices em
,
e
, orientada no sentido anti-horário. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro,
:
Agora,
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
, que é o triângulo dado pelos vértices
,
e
.
Passo 5
Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula da base vezes altura dividida por 2. A base do triângulo vai de
a
, que tem comprimento
. A altura vai do ponto
até
, que é
.
Então, a área
é:
Passo 6
Voltando à integral, temos:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.