Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ointC F cdot d r, onde o campo vetorial é dado por C e (-1,2) é o triângulo com vértices (4,2), (4,5) e , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O problema nos dá um campo vetorial F(x, y) = (sin(x^2), 3x - y) e uma curva C que é um triângulo com vértices em (-1,2), (4,2) e (4,5), orientada no sentido anti-horário. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos entender como transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D limitada por C. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde F = (P, Q). No nosso caso, P(x, y) = sin(x^2) e Q(x, y) = 3x - y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x - y) = 3
Agora, partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y(sin(x^2)) = 0

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD (3 - 0) dA = 3 integral duplaD dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região D, que é o triângulo dado pelos vértices (-1,2), (4,2) e (4,5).

Passo 5

Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula da base vezes altura dividida por 2. A base do triângulo vai de (-1,2) a (4,2), que tem comprimento 4 - (-1) = 5. A altura vai do ponto (4,2) até (4,5), que é 5 - 2 = 3.
Então, a área A é:
A = base times a

Passo 6

Voltando à integral, temos:
ointC F cdot dr = 3 times 7,5 = 22,5

Resposta

A integral de linha ointC F cdot dr é igual a 22,5.

Exercícios relacionados