Calcular integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(0,0, x) e S é a superfície com parametrização 0 <= u <= 1, para 0 <= v <= 1 e , e orientada com vetores normais apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de superfície! A gente precisa calcular a integral dupla de F cdot dS, onde F(x, y, z) = (0, 0, x). A superfície S está parametrizada por r(u, v) = (u^2, v, u^3 - v^2) com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, derivadas parciais, produto vetorial e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v. Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície muda conforme variamos u e v.
A derivada parcial em relação a u é:
ru = partial rpartial u = (2u, , 0, , 3u^2)
E a derivada parcial em relação a v é:
rv = partial rpartial v = (0, , 1, , -2v)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial dessas derivadas parciais. O produto vetorial ru times rv nos dá um vetor perpendicular à superfície, que é essencial para calcular a integral de superfície.
Calculando o produto vetorial:
ru times rv = i & j & k 2u & 0 & 3u^2 0 & 1 & -2v = i(0 cdot (-2v) - 3u^2 cdot 1) - j(2u cdot (-2v) - 3u^2 cdot 0) + k(2u cdot 1 - 0 cdot 0)
= i(-3u^2) - j(-4uv) + k(2u)
= (-3u^2, , 4uv, , 2u)

Passo 4

A orientação da superfície é importante. Queremos que os vetores normais apontem para cima. Isso significa que a componente z do vetor normal deve ser positiva. No nosso caso, a componente z é 2u, que é positiva já que u está entre 0 e 1. Portanto, a orientação está correta e podemos seguir em frente.

Passo 5

Vamos agora calcular a função F na parametrização da superfície. Substituímos x por u^2 na função F(x, y, z) = (0, 0, x):
F(r(u, v)) = F(u^2, v, u^3 - v^2) = (0, , 0, , u^2)

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar de F com o vetor normal ru times rv:
F cdot (ru times rv) = (0, , 0, , u^2) cdot (-3u^2, , 4uv, , 2u) = 0 cdot (-3u^2) + 0 cdot 4uv + u^2 cdot 2u = 2u^3

Passo 7

Finalmente, vamos integrar essa expressão sobre os limites dados para u e v. A integral dupla fica:
integral duplaS F cdot dS = integral0^1 integral0^1 2u^3 , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v:
integral0^1 2u^3 , dv = 2u^3 cdot v |0^1 = 2u^3 cdot (1 - 0) = 2u^3
Agora, integramos em relação a u:
integral0^1 2u^3 , du = 2 cdot u^44 |0^1 = 24 (1^4 - 0^4) = 12

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S vale 12.

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