Calcular , onde e é a superfície com parametrização , para e , e orientada com vetores normais apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de superfície! A gente precisa calcular a integral dupla de , onde . A superfície está parametrizada por com e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, derivadas parciais, produto vetorial e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície muda conforme variamos e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície usando o produto vetorial dessas derivadas parciais. O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular à superfície, que é essencial para calcular a integral de superfície.
Calculando o produto vetorial:
= i(-3u^2) - j(-4uv) + k(2u)
= (-3u^2, , 4uv, , 2u)
Passo 4
A orientação da superfície é importante. Queremos que os vetores normais apontem para cima. Isso significa que a componente z do vetor normal deve ser positiva. No nosso caso, a componente z é 2u, que é positiva já que u está entre 0 e 1. Portanto, a orientação está correta e podemos seguir em frente.
Passo 5
Vamos agora calcular a função F na parametrização da superfície. Substituímos x por u^2 na função F(x, y, z) = (0, 0, x):