Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde
é o triângulo de vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva que é o triângulo com vértices em
,
e
. O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que geralmente facilita a vida. Vamos precisar lembrar que o Teorema de Green relaciona integrais de linha sobre uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva envolve.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral de linha dada:
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região delimitada pela curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de em relação a
:
Primeiro, a derivada de
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Viram só? A expressão simplifica para apenas 1, então a integral dupla vai ser a área da região
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a área do triângulo com vértices em
,
e
. A base do triângulo está no eixo
de comprimento 1, e a altura é 2. A fórmula da área de um triângulo é:
Resposta
A integral vale 1.