Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
ointC-ln (1+y) d x+x y1+y d y
onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0),(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2). O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que geralmente facilita a vida. Vamos precisar lembrar que o Teorema de Green relaciona integrais de linha sobre uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva envolve.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x, y) e Q(x, y) na integral de linha dada:
P(x, y) = -ln(1 + y)
Q(x, y) = xy1 + y
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região delimitada pela curva C .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de Q em relação a x :
partial Qpartial x = partialpartial x ( xy1 + y ) = y1 + y
Agora, a derivada de P em relação a y :
partial Ppartial y = partialpartial y ( -ln(1 + y) ) = -11 + y

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( y1 + y - ( -11 + y ) ) dA = integral duplaD ( y + 11 + y ) dA = integral duplaD 1 , dA
Viram só? A expressão simplifica para apenas 1, então a integral dupla vai ser a área da região D .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a área do triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2). A base do triângulo está no eixo x de comprimento 1, e a altura é 2. A fórmula da área de um triângulo é:
Área = 12 times base times a<ura = 12 times 1 times 2 = 1 Á

Resposta

A integral vale 1.

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