Use o Teorema de Green para calcular a integral. Suponha que a curva seja orientada no sentido anti-horário.
onde é o triângulo de vértices .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green. Basicamente, a gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva que é o triângulo com vértices em , e . O Teorema de Green vai nos ajudar a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, o que geralmente facilita a vida. Vamos precisar lembrar que o Teorema de Green relaciona integrais de linha sobre uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que essa curva envolve.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral de linha dada:
O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região delimitada pela curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Viram só? A expressão simplifica para apenas 1, então a integral dupla vai ser a área da região .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a área do triângulo com vértices em , e . A base do triângulo está no eixo de comprimento 1, e a altura é 2. A fórmula da área de um triângulo é:
Á

Resposta

A integral vale 1.

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