Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r.
F(x, y)=(2 x^3-y^3, x^3+y^3), onde C é a fronteira da região anular a <= x^2+y^2 <= b orientada no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC Fcdotdr com F(x,y)=(2x^3-y^3,,x^3+y^3) e C delimitando a região anular a<= x^2+y^2<= b, orientada positivamente. O conteúdo é o Teorema de Green, que converte integral de linha em integral dupla sobre a região.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=2x^3-y^3 e Q(x,y)=x^3+y^3. Pelo Teorema de Green, temos de calcular o rotacional partial Q/partial x - partial P/partial y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais: partial Q/partial x=3x^2 e partial P/partial y=-3y^2. Logo,
partial Q/partial x - partial P/partial y=3x^2-(-3y^2)=3(x^2+y^2)

Passo 4

Assim, a integral de linha vira
integral duplaD3(x^2+y^2),dA,
onde D é o anel (r,theta):raiz a<= r<=raiz b,;0<=theta<=2pi. Em coordenadas polares temos x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta.

Passo 5

A integral fica
integral0^2piintegralraiz a^raiz b3r^2cdot r,dr,dtheta=integral0^2pidthetaintegralraiz a^raiz b3r^3,dr

Passo 6

Calculando a integral em r:
integralraiz a^raiz b3r^3,dr=3[r^44]raiz a^raiz b=34(b^2-a^2)

Passo 7

E integrando em theta de 0 a 2pi obtemos 2picdot34(b^2-a^2)=3pi2(b^2-a^2).

Resposta

integralC Fcdotdr=3pi2l(b^2-a^2r).

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