Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r.
F(x, y)=(x y+x+y, x y+x-y) onde C a elipse b^2 x^2+a^2 y^2=(a b)^2 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dr onde F(x,y)=(xy+x+y,;xy+x-y) e C é a elipse b^2x^2+a^2y^2=(ab)^2, orientada anti-horário. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que troca uma integral de linha por uma integral dupla sobre a região interna D da curva.

Passo 2

Para aplicar Green, identificamos P(x,y)=xy+x+y e Q(x,y)=xy+x-y. Precisamos calcular
partial Qpartial x e partial Ppartial y

Passo 3

Calculando as derivadas parciais, temos
partial Qpartial x=partialpartial x(xy+x-y)=y+1,
partial Ppartial y=partialpartial y(xy+x+y)=x+1

Passo 4

O Teorema de Green diz
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Substituindo as derivadas,
partial Qpartial x-partial Ppartial y=(y+1)-(x+1)=y-x

Passo 5

Agora precisamos calcular
integral duplaD (y-x),dA,
onde D é a elipse centrada na origem. Pela simetria de D, o integral de y sobre D é zero (ímpar em y) e o integral de x sobre D também é zero (ímpar em x). Portanto a integral dupla é nula.

Resposta

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