Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=y+e^t ; y(0)=0 :
Escolha uma opção:
O problema não possui solução
y(t)=raizt^2+4-22
y(t)=t2
y(t)=-e^t+e^2 t
y(t)=12 exp (t^33-t)
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’ = y + e^{t} $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente resolvendo uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os elementos que precisamos para aplicar o método do fator integrante. A equação é:
y' - y = e^t
Aqui, a gente tem $ y’ - P(t)y = Q(t) $, onde $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = e^{t} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) = e^{t} $:
mu(t) = e^t
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t)y $. Ou seja:
mu(t)y

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
Isso nos dá:
integral ddt(e^ty) , dt = integral e^2t , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para $ y $:
y

Passo 8

Usamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = 0

Passo 9

Substituímos o valor de $ C $ na solução geral:
C

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 12( e^t - e^-t )
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a essa solução.

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