Determine a solução do Problema de Valor Inicial
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Escolha uma opção:
O problema não possui solução
Nenhuma das demais alternativas
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O problema não possui solução
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo $ y’ = y + e^{t} $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso está na área de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente resolvendo uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do Fator Integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os elementos que precisamos para aplicar o método do fator integrante. A equação é:
Aqui, a gente tem $ y’ - P(t)y = Q(t) $, onde $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = e^{t} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) = e^{t} $:
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(t)y $. Ou seja:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
Isso nos dá:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para $ y $:
Passo 8
Usamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
Passo 9
Substituímos o valor de $ C $ na solução geral:
Resposta
A solução do problema é:
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a essa solução.