Use o Teorema de Green para calcular
.
, onde
é a região compreendida entre a parábola
e a reta
orientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
e
é o contorno que envolve a região limitada por
e
, orientado no sentido horário. O conteúdo é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha sobre um contorno com uma integral dupla sobre a região interior.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, para um campo
e contorno
positivamente orientado (sentido anti-horário) vale
Como nosso contorno está orientado no sentido horário, temos o sinal trocado:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Então
Passo 4
Substituindo no teorema com o sinal trocado, a integral de linha vira
A região
é dada por
variando de
a
e, para cada
,
variando de
até
. Portanto
Passo 5
Montamos a integral dupla:
Fazendo a integral interna em
:
Logo
Passo 6
Agora integramos em
:
Como a função é par, podemos usar duas vezes de 0 a 1: