Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r.
F(x, y)=(3 x^2 y,-x^3), onde C é a região compreendida entre a parábola y=x^2 e a reta y=1 orientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot dr, onde F(x,y)=(3x^2y,,-x^3) e C é o contorno que envolve a região limitada por y=x^2 e y=1, orientado no sentido horário. O conteúdo é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha sobre um contorno com uma integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para um campo F=(P,Q) e contorno C positivamente orientado (sentido anti-horário) vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Como nosso contorno está orientado no sentido horário, temos o sinal trocado:
integralC Fcdot dr = ointC P,dx + Q,dy = -integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
P(x,y)=3x^2y Longrightarrow partial Ppartial y=3x^2,
Q(x,y)=-x^3 Longrightarrow partial Qpartial x=-3x^2
Então
partial Qpartial x-partial Ppartial y=-3x^2-3x^2=-6x^2

Passo 4

Substituindo no teorema com o sinal trocado, a integral de linha vira
integralC Fcdot dr = -integral duplaD (-6x^2),dA = integral duplaD 6x^2,dA
A região D é dada por x variando de -1 a 1 e, para cada x, y variando de x^2 até 1. Portanto

Passo 5

Montamos a integral dupla:
integral duplaD 6x^2,dA = integralx=-1^1 integraly=x^2^1 6x^2 ,dy,dx
Fazendo a integral interna em y:
integraly=x^2^16x^2,dy = 6x^2(1 - x^2)
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Passo 6

Agora integramos em x:
integral-1^16x^2(1 - x^2),dx = 6integral-1^1(x^2 - x^4),dx
Como a função é par, podemos usar duas vezes de 0 a 1:
6l[2integral0^1(x^2 - x^4),dxr] =12l[x^33 - x^55r]0^1 =12l(13-15r) =12cdot215 =2415 =85

Resposta

integralC Fcdot dr = 85.

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