Use o Teorema de Green para calcular:
integralgamma((-y^3+x^2) d x+(x^3+ln (cos ^4 y+2)) d y
onde gamma é dada em coordenadas polares por r(theta)=theta, para theta in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgammal(P,dx+Q,dyr)
com
P(x,y)=-y^3+x^2, Q(x,y)=x^3+lnl(cos^4y+2r),
onde gamma em coordenadas polares é dada por r(theta)=theta, thetain[0,2pi]. Vamos aplicar o Teorema de Green fechando gamma pelo segmento radial que une (0,0) a (2pi,0).

Passo 2

Calculamos o “rotacional”
partial Qpartial x =3x^2, partial Ppartial y =-3y^2,
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =3x^2+3y^2 =3l(x^2+y^2r) =3r^2

Passo 3

A região D em polares é
D=l(r,theta)mid 0<= r<=theta,;0<=theta<=2pir
Pelo Teorema de Green,
ointpartial DP,dx+Q,dy =integral duplaDl(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr),dA =integral duplaD3r^2,dA
A fronteira partial D é composta pelo segmento radial C2 em theta=0, mais o caminho gamma sentido contrário.

Passo 4

Avaliação da integral de área em coordenadas polares:
integral duplaD3r^2,dA =3integral0^2pi!integral0^thetar^2,(r,dr),dtheta =3integral0^2pi!integral0^thetar^3,dr,dtheta =3integral0^2pitheta^44,dtheta =34,(2pi)^55 =24pi^55

Passo 5

Parametrizamos o segmento radial C2 por
(x,y)=(t,0), tin[0,2pi]. Então dx=dt, dy=0 e
P(t,0)=t^2, Q(t,0)=ln(3)(mas dy=0)
Assim
integralC2P,dx+Q,dy =integral0^2pit^2,dt =t^33|0^2pi =8pi^33

Passo 6

Tomando a orientação positiva em partial D e sabendo que gamma entra com sinal trocado, temos
integralC2+integral-,gamma =integral duplaD3r^2,dA Longrightarrow integralgamma =integralC2-integral duplaD3r^2,dA =8pi^33-24pi^55

Resposta

boxed integralgammal((-y^3+x^2),dx+(x^3+ln(cos^4y+2)),dyr) =8pi^33-24pi^55

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