Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y=1x, y=0, x=1, e x=2 em torno da reta y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por y=1x, y=0, x=1 e x=2 em torno da reta y=-1. O conteúdo é cálculo de volume por método dos discos (arruelas) e vamos precisar expressar o volume como integral da diferença de áreas de círculos, definindo raio externo e interno.

Passo 2

Ao girar em torno de y=-1, a distância do eixo até a curva y=1x dá o raio externo
R(x)=1x - (-1)=1x+1,
e a distância até a reta y=0 (base da região) é o raio interno
r(x)=0 - (-1)=1

Passo 3

Pelo método das arruelas, o volume é
V = piintegralx=1^2l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = piintegral1^2l[(1+tfrac1x)^2 - 1^2r],dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1+tfrac1x)^2 - 1 = 1 + tfrac2x + tfrac1x^2 - 1 = 2x + 1x^2
Logo
V = piintegral1^2l(2x + 1x^2r),dx

Passo 5

Calculando a primitiva:
integrall(2x + 1x^2r),dx = 2ln x - 1x + C
Avalia-se de 1 a 2:
l[2ln x - 1xr]1^2 = l(2ln2 - tfrac12r) - l(2ln1 - 1r) = 2ln2 - tfrac12 + 1 = 2ln2 + tfrac12
Portanto
V = pil(2ln2 + tfrac12r)

Resposta

V = pil(2ln2 + tfrac12r)

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