Use o Teorema de Green para calcular
ointgamma(3 y+e^sen(x)) d x+(7 x+raizy^4+1) d y
onde gamma é a circunferência de centro na origem e raio 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgammaP,dx+Q,dy ao redor de uma circunferência de raio 1/2 usando o Teorema de Green. O conteúdo é o Teorema de Green, que converte uma integral de linha numérica em uma integral dupla sobre a região interior, e vamos precisar das derivadas parciais de P e Q.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, temos
ointgammaP,dx+Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
onde D é o disco de raio 1/2.

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=3y+e^sin(x), Q(x,y)=7x+raizy^4+1
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=7, partial Ppartial y=3

Passo 4

O integrando fica então
partial Qpartial x-partial Ppartial y=7-3=4
Logo,
integral duplaD4,dA = 4times Área(D) Á

Passo 5

Como D é um disco de raio tfrac12, sua área é
pil(tfrac12r)^2=pi4
Portanto a integral de linha vale
4times pi4=pi

Resposta

pi

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