Calcule as seguintes integrais de linha pela definição e depois usando o Teorema de Green.
,
é o círculo centrado na origem e raio 2 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o círculo centrado na origem de raio 2. O conteúdo envolve integral de linha de uma forma diferencial e o Teorema de Green. Para resolver pela definição, vamos precisar parametrizar o círculo; para usar Green, identificamos
e
.
Passo 2
Pela definição, usamos a parametrização
para
. Então
e
. Substituímos
e
em
e
para montar a integral
.
Passo 3
Calculando o integrando:
Expandindo, obtemos
logo a integral vira
Passo 4
Usando o Teorema de Green, em uma região
delimitada por
,
Aqui
e
, então o integrando é
. O setor
é o disco de raio 2, cuja área é
. Assim