Calcule as seguintes integrais de linha pela definição e depois usando o Teorema de Green.
ointgamma(x-y) d x+(x+y) d y, gamma é o círculo centrado na origem e raio 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointgamma(x-y),dx + (x+y),dy onde gamma é o círculo centrado na origem de raio 2. O conteúdo envolve integral de linha de uma forma diferencial e o Teorema de Green. Para resolver pela definição, vamos precisar parametrizar o círculo; para usar Green, identificamos P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y.

Passo 2

Pela definição, usamos a parametrização gamma(t)=(2cos t,2sin t) para tin [0,2pi]. Então dx = -2sin t,dt e dy = 2cos t,dt. Substituímos x=2cos t e y=2sin t em P e Q para montar a integral integral0^2pil[(x-y),dx + (x+y),dyr].

Passo 3

Calculando o integrando:
(x-y),dx + (x+y),dy = (2cos t - 2sin t)(-2sin t,dt) + (2cos t + 2sin t)(2cos t,dt)
Expandindo, obtemos
-4cos t,sin t + 4sin^2 t + 4cos^2 t + 4sin t,cos t = 4(sin^2 t+cos^2 t)=4,
logo a integral vira
integral0^2pi4,dt = 8pi

Passo 4

Usando o Teorema de Green, em uma região D delimitada por gamma,
ointgammaP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui partial Q/partial x=1 e partial P/partial y=-1, então o integrando é 1-(-1)=2. O setor D é o disco de raio 2, cuja área é 4pi. Assim
integral duplaD2,dA = 2cdot (4pi) = 8pi

Resposta

8pi

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