Calcule a integral de linha integralgamma F cdot d r onde a curva gamma é dada.
F(x, y, z)=(x, y,-x y), gamma(t)=(cos (t), sen(t), t), t in[0, pi]\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma Fcdot d r onde F(x,y,z)=(x,y,-xy) e a curva é dada por gamma(t)=(cos t,,sin t,,t) para tin[0,pi]. Vamos usar a teoria de integrais de linha de campos vetoriais: basta parametrizar F ao longo de gamma, encontrar d r=gamma'(t),dt e então integrar o produto escalar F(gamma(t))cdotgamma'(t).

Passo 2

Primeiro, calculamos gamma'(t):
gamma'(t)=l(-sin t,,cos t,,1r)

Passo 3

Agora avaliamos F ao longo de gamma(t):
F(gamma(t))=(cos t,,sin t,,-cos t,sin t)

Passo 4

Calculamos o produto escalar:
F(gamma(t))cdotgamma'(t) =cos t(-sin t)+sin t(cos t)+(-cos tsin t)cdot1 =-cos tsin t+sin tcos t-cos tsin t =-cos tsin t

Passo 5

A integral fica então
integral0^pi -cos tsin t,dt Usando sin(2t)=2sin tcos t, temos o integrando como -tfrac12sin(2t). Integrando,
integral -cos tsin t,dt=-tfrac12integralsin(2t),dt=tfrac14cos(2t)+C

Passo 6

Finalmente, avaliando de 0 a pi:
l[tfrac14cos(2t)r]0^pi=tfrac14(cos(2pi)-cos0)=tfrac14(1-1)=0

Resposta

0

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