Use o Teorema de Laplace para calcular os determinantes das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & 1 \\\\ 5 & -9 & 6 & 3 \\\\ -1 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & 8 & 6 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1\\\\ 5 & -9 & 6 & 3\\\\ -1 & 2 & -6 & -2\\\\ 2 & 8 & 6 & 1 \end{pmatrix}
usando o Teorema de Laplace (expansão por cofatores). Vamos usar os conceitos de menor complementar M_{ij} e cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.

Passo 2

Escolhemos expandir o determinante pela primeira linha. Pelo Teorema de Laplace:
\det(A) = \sum_{j=1}^{4} a_{1j}\,C_{1j} = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}.
Como a_{11}=1, a_{12}=-2, a_{13}=3 e a_{14}=1, temos
\det(A) = 1\cdot C_{11} + (-2)\cdot C_{12} + 3\cdot C_{13} + 1\cdot C_{14}.

Passo 3

Calcular o menor M_{11} (remove linha 1, coluna 1):
M_{11} = \det\begin{pmatrix} -9 & 6 & 3\\\\ 2 & -6 & -2\\\\ 8 & 6 & 1 \end{pmatrix} = -9\bigl((-6)\cdot1-(-2)\cdot6\bigr) -6\bigl(2\cdot1-(-2)\cdot8\bigr) +3\bigl(2\cdot6-(-6)\cdot8\bigr) =18.
Logo C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot18=18.

Passo 4

Calcular o menor M_{12} (remove linha 1, coluna 2):
M_{12} = \det\begin{pmatrix} 5 & 6 & 3\\\\ -1 & -6 & -2\\\\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix} =5\bigl((-6)\cdot1-(-2)\cdot6\bigr) -6\bigl((-1)\cdot1-(-2)\cdot2\bigr) +3\bigl((-1)\cdot6-(-6)\cdot2\bigr) =30.
Logo C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot30=-30.

Passo 5

Calcular o menor M_{13} (remove linha 1, coluna 3):
M_{13} = \det\begin{pmatrix} 5 & -9 & 3\\\\ -1 & 2 & -2\\\\ 2 & 8 & 1 \end{pmatrix} =5\bigl(2\cdot1-(-2)\cdot8\bigr) -(-9)\bigl((-1)\cdot1-(-2)\cdot2\bigr) +3\bigl((-1)\cdot8-2\cdot2\bigr) =81.
Logo C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=1\cdot81=81.

Passo 6

Calcular o menor M_{14} (remove linha 1, coluna 4):
M_{14} = \det\begin{pmatrix} 5 & -9 & 6\\\\ -1 & 2 & -6\\\\ 2 & 8 & 6 \end{pmatrix} =5\bigl(2\cdot6-(-6)\cdot8\bigr) -(-9)\bigl((-1)\cdot6-(-6)\cdot2\bigr) +6\bigl((-1)\cdot8-2\cdot2\bigr) =282.
Logo C_{14}=(-1)^{1+4}M_{14}=-1\cdot282=-282.

Passo 7

Agora somamos os termos com seus cofatores:
\det(A) =1\cdot18 + (-2)\cdot(-30) + 3\cdot81 + 1\cdot(-282) =18 + 60 + 243 - 282 =39.

Resposta

O determinante de A é 39.

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