Use o Teorema de Laplace para calcular os determinantes das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular \det(A) de
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
usando o Teorema de Laplace. Como há três zeros na primeira coluna, vamos expandir ao longo dela para simplificar.

Passo 2

Expansão de Laplace ao longo da primeira coluna dá
\det(A) =1\cdot(-1)^{1+1}\det(M_{11}) +(-2)\cdot(-1)^{2+1}\det(M_{21}) =\det(M_{11})+2\,\det(M_{21}),
onde M_{11} é a matriz que sobra ao eliminar linha 1 e coluna 1 de A e M_{21} é a que sobra ao eliminar linha 2 e coluna 1.

Passo 3

A matriz M_{11} é
M_{11} = \begin{pmatrix} -7 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo de novo pela primeira coluna (único termo não nulo: -7 em (1,1)),
\det(M_{11}) = -7 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante do 3\times3 é
1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot1) -0\cdot(2\cdot1 - 1\cdot0) +1\cdot(2\cdot1 - 1\cdot0) =0+0+2=2.
Logo
\det(M_{11})=-7\cdot2=-14.

Passo 4

A matriz M_{21} é
M_{21} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Também expandimos pela primeira coluna (único termo não nulo: 3 em (1,1)),
\det(M_{21}) =3\cdot\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} =3\cdot2=6.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=\det(M_{11})+2\,\det(M_{21}),
\det(A)=-14+2\cdot6=-14+12=-2.

Resposta

-2

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