Use o Teorema de Laplace para calcular os determinantes das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det A para
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
Usaremos o Teorema de Laplace (expansão por cofatores), que diz
\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido de A excluindo a linha i e a coluna j.

Passo 2

Observamos que a terceira linha de A é (0,2,1,0), com dois zeros, o que simplifica a expansão. Logo
\det A = \sum_{j=1}^{4}(-1)^{3+j}a_{3j}\det M_{3j} =(-1)^{3+2}\,a_{32}\det M_{32} +(-1)^{3+3}\,a_{33}\det M_{33}.
Como a_{31}=a_{34}=0, só sobram os termos com j=2 e j=3:
\det A = -\,a_{32}\det M_{32} + a_{33}\det M_{33}.

Passo 3

Calculamos M_{3,2}, que exclui a 3ª linha e a 2ª coluna de A:
M_{3,2} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det M_{3,2} = 2\,(1\cdot3 - 1\cdot2) -3\,(1\cdot3 - 1\cdot0) +1\,(1\cdot2 - 1\cdot0) =2\,(3-2)-3\,(3-0)+1\,(2-0) =2-9+2 =-5.

Passo 4

Agora M_{3,3}, excluindo a 3ª linha e a 3ª coluna:
M_{3,3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det M_{3,3} =2\,(0\cdot3 - 1\cdot1) -1\,(1\cdot3 - 1\cdot0) +1\,(1\cdot1 - 0\cdot0) =2\,(0-1)-1\,(3-0)+1\,(1-0) =-2-3+1 =-4.

Passo 5

Substituindo em \det A = -\,a_{32}\det M_{3,2} + a_{33}\det M_{3,3}, com a_{32}=2 e a_{33}=1:
\det A = -\,2\cdot(-5) + 1\cdot(-4) =10 - 4 =6.

Resposta

6

Exercícios relacionados