Use o Teorema de L’Hopital para calcular os limites abaixo
lim x 0(1+x)^1x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 0(1+x)^tfrac1x
usando o Teorema de L’H^opital. Para resolver, vamos transformar a express~ao exponencial em uma forma que gere uma indeterminac~ao do tipo tfrac00, aplicar L’H^opital e depois voltar `a exponencial.

Passo 2

Defina
y = (1+x)^tfrac1x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln y = ln(1+x)x

Passo 3

Observe que, ao fazermos xto0, tanto ln(1+x)to0 quanto xto0, ent~ao
limxto0ln y = limxto0ln(1+x)x
'e uma indeterminac~ao do tipo tfrac00, o que nos permite usar o Teorema de L’H^opital.

Passo 4

Aplicando L’H^opital, derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
derivada de ln(1+x) 'e tfrac11+x, e derivada de x 'e 1. Logo,
limxto0ln y = limxto0tfrac11+x1 = 11+0 = 1

Passo 5

Como ln yto1, temos yto e^1. Portanto,
limxto0(1+x)^tfrac1x = e

Resposta

e

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