Use o Teorema de LHôspital para determinar o limite lim x +infty ln (ln x)ln x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de ln(ln x)ln x quando x tende ao infinito positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Vamos verificar se o limite apresenta uma forma indeterminada que permita usar o Teorema de L’Hôpital. Quando x +infty:
  • ln x +infty
  • ln(ln x) +infty
Então, temos uma forma inftyinfty, que é uma das condições para aplicar o Teorema de L’Hôpital.

Passo 3

De acordo com o Teorema de L’Hôpital, se temos um limite na forma inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite do quociente das derivadas. Ou seja:
limx +infty ln(ln x)ln x = limx +infty ddx[ln(ln x)]ddx[ln x]

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador ln(ln x):
ddx[ln(ln x)] = 1ln x cdot 1x = 1x ln x
  • Derivada do denominador ln x:
ddx[ln x] = 1x

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite, temos:
limx +infty 1x ln x1x = limx +infty 1x ln x cdot x = limx +infty 1ln x

Passo 6

Agora, precisamos avaliar o limite de 1ln x quando x tende ao infinito. Sabemos que ln x cresce sem limite quando x aumenta, ou seja, ln x +infty. Portanto:
limx +infty 1ln x = 0

Resposta

O limite limx +infty ln(ln x)ln x é igual a 0.

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