Use o Teorema de LHôspital para determinar o limite
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de L’Hôpital, que é uma ferramenta útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Vamos verificar se o limite apresenta uma forma indeterminada que permita usar o Teorema de L’Hôpital. Quando
:
Então, temos uma forma
, que é uma das condições para aplicar o Teorema de L’Hôpital.
Passo 3
De acordo com o Teorema de L’Hôpital, se temos um limite na forma
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite do quociente das derivadas. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce sem limite quando
aumenta, ou seja,
. Portanto:
Resposta
O limite
é igual a
.