Use o Teorema 4.1 para obter mathscr{L}{f(t)}.
f(t)=1+e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathscr{L}\{f(t)\} onde f(t)=1+e^{t}.
Informações dadas:
  • f(t)=1+e^{t} para t\ge 0 (função causal típica para a transformada de Laplace).
  • Quer-se a transformada de Laplace \mathscr{L}\{f(t)\}.

Passo 2

Vou usar o Teorema 4.1, que é a propriedade de linearidade da transformada de Laplace. Em palavras: se a e b são constantes e g(t) e h(t) são funções apropriadas, então
\mathscr{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,\mathscr{L}\{g(t)\}+b\,\mathscr{L}\{h(t)\}.
Aqui a=b=1, g(t)=1 e h(t)=e^{t}. Vou calcular \mathscr{L}\{1\} e \mathscr{L}\{e^{t}\} separadamente.

Passo 3

Calcular \mathscr{L}\{1\} pela definição:
\mathscr{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt.
Avalia a integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\left[\frac{e^{-st}}{-s}\right]_{0}^{\infty}.
Para que o termo e^{-st} vá a zero quando t\to\infty é necessário \Re(s)>0. Então
\mathscr{L}\{1\}=\frac{1}{s}\qquad(\Re(s)>0).

Passo 4

Calcular \mathscr{L}\{e^{t}\}:
\mathscr{L}\{e^{t}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\,dt.
Avalia a integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-1)t}}{-(s-1)}\right]_{0}^{\infty}.
Para que e^{-(s-1)t}\to 0 quando t\to\infty é necessário \Re(s-1)>0, ou seja \Re(s)>1. Assim
\mathscr{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s-1}\qquad(\Re(s)>1).

Passo 5

Aplicando a linearidade (Teorema 4.1):
\mathscr{L}\{1+e^{t}\}=\mathscr{L}\{1\}+\mathscr{L}\{e^{t}\}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1}.
A região de convergência é a interseção das condições obtidas: \Re(s)>0 e \Re(s)>1, portanto \Re(s)>1.

Resposta

\mathscr{L}\{1+e^{t}\}=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s-1},\quad \Re(s)>1

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